Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 54200 / 21307
↖ ↑ ↗
← N 53.136885°
E117.729492°		 ← 366.41 m → N 53.136885°
E117.734985°		 →
↑
366.40 m
↓
↑
366.40 m
↓
N 53.133590°
E117.729492°		 ← 366.44 m →
134 258 m²		 N 53.133590°
E117.734985°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54200 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21307 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.827033996582031 y=0.325126647949219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.827033996582031 × 216)
    floor (0.827033996582031 × 65536)
    floor (54200.5)     		tx = 54200
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.325126647949219 × 216)
    floor (0.325126647949219 × 65536)
    floor (21307.5)     		ty = 21307
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 54200 / 21307 ti = "16/54200/21307"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/54200/21307.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54200 ÷ 216
    54200 ÷ 65536     		x = 0.8270263671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21307 ÷ 216
    21307 ÷ 65536     		y = 0.325119018554688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8270263671875 × 2 - 1) × π
    0.654052734375 × 3.1415926535     		Λ = 2.05476727
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.325119018554688 × 2 - 1) × π
    0.349761962890625 × 3.1415926535     		Φ = 1.09880961309093
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.05476727} λ = 2.05476727}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.09880961309093))-π/2
    2×atan(3.00059203167769)-π/2
    2×1.24910496505278-π/2
    2.49820993010555-1.57079632675     		φ = 0.92741360
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.05476727} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.729492°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92741360 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.136885°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54200 KachelY 21307 2.05476727 0.92741360 117.729492 53.136885
    Oben rechts KachelX + 1 54201 KachelY 21307 2.05486314 0.92741360 117.734985 53.136885
    Unten links KachelX 54200 KachelY + 1 21308 2.05476727 0.92735609 117.729492 53.133590
    Unten rechts KachelX + 1 54201 KachelY + 1 21308 2.05486314 0.92735609 117.734985 53.133590
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92741360-0.92735609) × R
    5.75099999999829e-05 × 6371000     		dl = 366.396209999891m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92741360-0.92735609) × R
    5.75099999999829e-05 × 6371000     		dr = 366.396209999891m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.05476727-2.05486314) × cos(0.92741360) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.599905290197222 × 6371000     		do = 366.414814410756m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.05476727-2.05486314) × cos(0.92735609) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.5999513012897 × 6371000     		du = 366.442917423326m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92741360)-sin(0.92735609))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.599905290197222-0.5999513012897)×R²
    abs(2.05486314-2.05476727)×4.60110924781487e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.60110924781487e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.60110924781487e-05×40589641000000     		ar = 134258.147743627m²