Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54200 / 14775
↖ ↑ ↗
← N 79.970895°
W 31.135254°		 ← 53.18 m → N 79.970895°
W 31.132507°		 →
↑
53.20 m
↓
↑
53.20 m
↓
N 79.970417°
W 31.135254°		 ← 53.18 m →
2 829 m²		 N 79.970417°
W 31.132507°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54200 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14775 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.413516998291016 y=0.112728118896484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.413516998291016 × 217)
    floor (0.413516998291016 × 131072)
    floor (54200.5)     		tx = 54200
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.112728118896484 × 217)
    floor (0.112728118896484 × 131072)
    floor (14775.5)     		ty = 14775
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54200 / 14775 ti = "17/54200/14775"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54200/14775.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54200 ÷ 217
    54200 ÷ 131072     		x = 0.41351318359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14775 ÷ 217
    14775 ÷ 131072     		y = 0.112724304199219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.41351318359375 × 2 - 1) × π
    -0.1729736328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.54341269
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.112724304199219 × 2 - 1) × π
    0.774551391601562 × 3.1415926535     		Φ = 2.43332496161367
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.54341269} λ = -0.54341269}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.43332496161367))-π/2
    2×atan(11.3967127848597)-π/2
    2×1.48327587789807-π/2
    2.96655175579615-1.57079632675     		φ = 1.39575543
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.54341269} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.135254°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39575543 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.970895°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54200 KachelY 14775 -0.54341269 1.39575543 -31.135254 79.970895
    Oben rechts KachelX + 1 54201 KachelY 14775 -0.54336476 1.39575543 -31.132507 79.970895
    Unten links KachelX 54200 KachelY + 1 14776 -0.54341269 1.39574708 -31.135254 79.970417
    Unten rechts KachelX + 1 54201 KachelY + 1 14776 -0.54336476 1.39574708 -31.132507 79.970417
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39575543-1.39574708) × R
    8.34999999987929e-06 × 6371000     		dl = 53.1978499992309m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39575543-1.39574708) × R
    8.34999999987929e-06 × 6371000     		dr = 53.1978499992309m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.54341269--0.54336476) × cos(1.39575543) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.174148409607274 × 6371000     		do = 53.1783118789811m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.54341269--0.54336476) × cos(1.39574708) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.174156632008339 × 6371000     		du = 53.1808226880621m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39575543)-sin(1.39574708))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.174148409607274-0.174156632008339)×R²
    abs(-0.54336476--0.54341269)×8.22240106584937e-06×R²
    4.79300000000293e-05×8.22240106584937e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×8.22240106584937e-06×40589641000000     		ar = 2829.03864330101m²