Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54199 / 13539
↖ ↑ ↗
← N 80.545164°
W 31.138000°		 ← 50.17 m → N 80.545164°
W 31.135254°		 →
↑
50.14 m
↓
↑
50.14 m
↓
N 80.544713°
W 31.138000°		 ← 50.17 m →
2 516 m²		 N 80.544713°
W 31.135254°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54199 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13539 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.413509368896484 y=0.103298187255859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.413509368896484 × 217)
    floor (0.413509368896484 × 131072)
    floor (54199.5)     		tx = 54199
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.103298187255859 × 217)
    floor (0.103298187255859 × 131072)
    floor (13539.5)     		ty = 13539
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54199 / 13539 ti = "17/54199/13539"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54199/13539.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54199 ÷ 217
    54199 ÷ 131072     		x = 0.413505554199219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13539 ÷ 217
    13539 ÷ 131072     		y = 0.103294372558594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.413505554199219 × 2 - 1) × π
    -0.172988891601562 × 3.1415926535     		Λ = -0.54346063
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.103294372558594 × 2 - 1) × π
    0.793411254882812 × 3.1415926535     		Φ = 2.49257496954406
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.54346063} λ = -0.54346063}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.49257496954406))-π/2
    2×atan(12.0923735594139)-π/2
    2×1.48828732067043-π/2
    2.97657464134086-1.57079632675     		φ = 1.40577831
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.54346063} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.138000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40577831 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.545164°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54199 KachelY 13539 -0.54346063 1.40577831 -31.138000 80.545164
    Oben rechts KachelX + 1 54200 KachelY 13539 -0.54341269 1.40577831 -31.135254 80.545164
    Unten links KachelX 54199 KachelY + 1 13540 -0.54346063 1.40577044 -31.138000 80.544713
    Unten rechts KachelX + 1 54200 KachelY + 1 13540 -0.54341269 1.40577044 -31.135254 80.544713
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40577831-1.40577044) × R
    7.87000000013194e-06 × 6371000     		dl = 50.1397700008406m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40577831-1.40577044) × R
    7.87000000013194e-06 × 6371000     		dr = 50.1397700008406m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.54346063--0.54341269) × cos(1.40577831) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.164270103061012 × 6371000     		do = 50.1723177872529m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.54346063--0.54341269) × cos(1.40577044) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.16427786614509 × 6371000     		du = 50.1746888329523m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40577831)-sin(1.40577044))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.164270103061012-0.16427786614509)×R²
    abs(-0.54341269--0.54346063)×7.76308407848814e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.76308407848814e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.76308407848814e-06×40589641000000     		ar = 2515.68791627886m²