Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54198 / 12798
↖ ↑ ↗
← N 80.873699°
W 31.140747°		 ← 48.44 m → N 80.873699°
W 31.138000°		 →
↑
48.48 m
↓
↑
48.48 m
↓
N 80.873263°
W 31.140747°		 ← 48.45 m →
2 349 m²		 N 80.873263°
W 31.138000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54198 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12798 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.413501739501953 y=0.0976448059082031 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.413501739501953 × 217)
    floor (0.413501739501953 × 131072)
    floor (54198.5)     		tx = 54198
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0976448059082031 × 217)
    floor (0.0976448059082031 × 131072)
    floor (12798.5)     		ty = 12798
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54198 / 12798 ti = "17/54198/12798"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54198/12798.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54198 ÷ 217
    54198 ÷ 131072     		x = 0.413497924804688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12798 ÷ 217
    12798 ÷ 131072     		y = 0.0976409912109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.413497924804688 × 2 - 1) × π
    -0.173004150390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.54350857
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0976409912109375 × 2 - 1) × π
    0.804718017578125 × 3.1415926535     		Φ = 2.52809621216252
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.54350857} λ = -0.54350857}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.52809621216252))-π/2
    2×atan(12.5296296594525)-π/2
    2×1.49115432223613-π/2
    2.98230864447227-1.57079632675     		φ = 1.41151232
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.54350857} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.140747°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41151232 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.873699°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54198 KachelY 12798 -0.54350857 1.41151232 -31.140747 80.873699
    Oben rechts KachelX + 1 54199 KachelY 12798 -0.54346063 1.41151232 -31.138000 80.873699
    Unten links KachelX 54198 KachelY + 1 12799 -0.54350857 1.41150471 -31.140747 80.873263
    Unten rechts KachelX + 1 54199 KachelY + 1 12799 -0.54346063 1.41150471 -31.138000 80.873263
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41151232-1.41150471) × R
    7.60999999993572e-06 × 6371000     		dl = 48.4833099995905m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41151232-1.41150471) × R
    7.60999999993572e-06 × 6371000     		dr = 48.4833099995905m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.54350857--0.54346063) × cos(1.41151232) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.15861131781091 × 6371000     		do = 48.4439791147405m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.54350857--0.54346063) × cos(1.41150471) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.158618831472096 × 6371000     		du = 48.4462739802685m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41151232)-sin(1.41150471))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.15861131781091-0.158618831472096)×R²
    abs(-0.54346063--0.54350857)×7.51366118625918e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.51366118625918e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.51366118625918e-06×40589641000000     		ar = 2348.78008822048m²