Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 54196 / 21305
↖ ↑ ↗
← N 53.143475°
E117.707520°		 ← 366.36 m → N 53.143475°
E117.713012°		 →
↑
366.33 m
↓
↑
366.33 m
↓
N 53.140181°
E117.707520°		 ← 366.39 m →
134 214 m²		 N 53.140181°
E117.713012°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54196 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21305 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.826972961425781 y=0.325096130371094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.826972961425781 × 216)
    floor (0.826972961425781 × 65536)
    floor (54196.5)     		tx = 54196
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.325096130371094 × 216)
    floor (0.325096130371094 × 65536)
    floor (21305.5)     		ty = 21305
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 54196 / 21305 ti = "16/54196/21305"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/54196/21305.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54196 ÷ 216
    54196 ÷ 65536     		x = 0.82696533203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21305 ÷ 216
    21305 ÷ 65536     		y = 0.325088500976562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.82696533203125 × 2 - 1) × π
    0.6539306640625 × 3.1415926535     		Λ = 2.05438377
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.325088500976562 × 2 - 1) × π
    0.349822998046875 × 3.1415926535     		Φ = 1.09900136068941
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.05438377} λ = 2.05438377}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.09900136068941))-π/2
    2×atan(3.0011674431589)-π/2
    2×1.24916247584022-π/2
    2.49832495168045-1.57079632675     		φ = 0.92752862
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.05438377} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.707520°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92752862 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.143475°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54196 KachelY 21305 2.05438377 0.92752862 117.707520 53.143475
    Oben rechts KachelX + 1 54197 KachelY 21305 2.05447964 0.92752862 117.713012 53.143475
    Unten links KachelX 54196 KachelY + 1 21306 2.05438377 0.92747112 117.707520 53.140181
    Unten rechts KachelX + 1 54197 KachelY + 1 21306 2.05447964 0.92747112 117.713012 53.140181
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92752862-0.92747112) × R
    5.75000000000436e-05 × 6371000     		dl = 366.332500000278m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92752862-0.92747112) × R
    5.75000000000436e-05 × 6371000     		dr = 366.332500000278m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.05438377-2.05447964) × cos(0.92752862) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.599813262060037 × 6371000     		do = 366.358604750068m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.05438377-2.05447964) × cos(0.92747112) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.599859269119562 × 6371000     		du = 366.386705299359m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92752862)-sin(0.92747112))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.599813262060037-0.599859269119562)×R²
    abs(2.05447964-2.05438377)×4.6007059524289e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.6007059524289e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.6007059524289e-05×40589641000000     		ar = 134214.210683884m²