Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 54195 / 21299
↖ ↑ ↗
← N 53.163240°
E117.702027°		 ← 366.19 m → N 53.163240°
E117.707520°		 →
↑
366.21 m
↓
↑
366.21 m
↓
N 53.159947°
E117.702027°		 ← 366.22 m →
134 106 m²		 N 53.159947°
E117.707520°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54195 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21299 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.826957702636719 y=0.325004577636719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.826957702636719 × 216)
    floor (0.826957702636719 × 65536)
    floor (54195.5)     		tx = 54195
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.325004577636719 × 216)
    floor (0.325004577636719 × 65536)
    floor (21299.5)     		ty = 21299
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 54195 / 21299 ti = "16/54195/21299"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/54195/21299.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54195 ÷ 216
    54195 ÷ 65536     		x = 0.826950073242188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21299 ÷ 216
    21299 ÷ 65536     		y = 0.324996948242188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.826950073242188 × 2 - 1) × π
    0.653900146484375 × 3.1415926535     		Λ = 2.05428790
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.324996948242188 × 2 - 1) × π
    0.350006103515625 × 3.1415926535     		Φ = 1.09957660348485
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.05428790} λ = 2.05428790}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.09957660348485))-π/2
    2×atan(3.00289433975328)-π/2
    2×1.24933495526747-π/2
    2.49866991053494-1.57079632675     		φ = 0.92787358
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.05428790} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.702027°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92787358 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.163240°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54195 KachelY 21299 2.05428790 0.92787358 117.702027 53.163240
    Oben rechts KachelX + 1 54196 KachelY 21299 2.05438377 0.92787358 117.707520 53.163240
    Unten links KachelX 54195 KachelY + 1 21300 2.05428790 0.92781610 117.702027 53.159947
    Unten rechts KachelX + 1 54196 KachelY + 1 21300 2.05438377 0.92781610 117.707520 53.159947
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92787358-0.92781610) × R
    5.74799999999431e-05 × 6371000     		dl = 366.205079999638m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92787358-0.92781610) × R
    5.74799999999431e-05 × 6371000     		dr = 366.205079999638m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.05428790-2.05438377) × cos(0.92787358) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.599537210076307 × 6371000     		do = 366.189995574521m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.05428790-2.05438377) × cos(0.92781610) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.599583213024718 × 6371000     		du = 366.218093612795m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92787358)-sin(0.92781610))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.599537210076307-0.599583213024718)×R²
    abs(2.05438377-2.05428790)×4.60029484106173e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.60029484106173e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.60029484106173e-05×40589641000000     		ar = 134105.781483652m²