Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 54194 / 49973
↖ ↑ ↗
← S 68.247004°
E117.696533°		 ← 226.39 m → S 68.247004°
E117.702027°		 →
↑
226.36 m
↓
↑
226.36 m
↓
S 68.249039°
E117.696533°		 ← 226.37 m →
51 243 m²		 S 68.249039°
E117.702027°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54194 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49973 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.826942443847656 y=0.762535095214844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.826942443847656 × 216)
    floor (0.826942443847656 × 65536)
    floor (54194.5)     		tx = 54194
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.762535095214844 × 216)
    floor (0.762535095214844 × 65536)
    floor (49973.5)     		ty = 49973
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 54194 / 49973 ti = "16/54194/49973"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/54194/49973.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54194 ÷ 216
    54194 ÷ 65536     		x = 0.826934814453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49973 ÷ 216
    49973 ÷ 65536     		y = 0.762527465820312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.826934814453125 × 2 - 1) × π
    0.65386962890625 × 3.1415926535     		Λ = 2.05419202
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.762527465820312 × 2 - 1) × π
    -0.525054931640625 × 3.1415926535     		Φ = -1.64950871592613
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.05419202} λ = 2.05419202}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.64950871592613))-π/2
    2×atan(0.19214428286263)-π/2
    2×0.189830701425715-π/2
    0.37966140285143-1.57079632675     		φ = -1.19113492
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.05419202} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.696533°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19113492 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.247004°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54194 KachelY 49973 2.05419202 -1.19113492 117.696533 -68.247004
    Oben rechts KachelX + 1 54195 KachelY 49973 2.05428790 -1.19113492 117.702027 -68.247004
    Unten links KachelX 54194 KachelY + 1 49974 2.05419202 -1.19117045 117.696533 -68.249039
    Unten rechts KachelX + 1 54195 KachelY + 1 49974 2.05428790 -1.19117045 117.702027 -68.249039
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19113492--1.19117045) × R
    3.55299999998948e-05 × 6371000     		dl = 226.36162999933m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19113492--1.19117045) × R
    3.55299999998948e-05 × 6371000     		dr = 226.36162999933m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.05419202-2.05428790) × cos(-1.19113492) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.37060600862141 × 6371000     		do = 226.385228863133m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.05419202-2.05428790) × cos(-1.19117045) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.37057300847263 × 6371000     		du = 226.36507067341m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19113492)-sin(-1.19117045))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.37060600862141-0.37057300847263)×R²
    abs(2.05428790-2.05419202)×3.30001487801046e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.30001487801046e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.30001487801046e-05×40589641000000     		ar = 51242.6478982508m²