Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54194 / 18538
↖ ↑ ↗
← N 78.001617°
W 31.151734°		 ← 63.49 m → N 78.001617°
W 31.148987°		 →
↑
63.52 m
↓
↑
63.52 m
↓
N 78.001045°
W 31.151734°		 ← 63.50 m →
4 033 m²		 N 78.001045°
W 31.148987°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54194 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18538 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.413471221923828 y=0.141437530517578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.413471221923828 × 217)
    floor (0.413471221923828 × 131072)
    floor (54194.5)     		tx = 54194
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.141437530517578 × 217)
    floor (0.141437530517578 × 131072)
    floor (18538.5)     		ty = 18538
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54194 / 18538 ti = "17/54194/18538"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54194/18538.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54194 ÷ 217
    54194 ÷ 131072     		x = 0.413467407226562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18538 ÷ 217
    18538 ÷ 131072     		y = 0.141433715820312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.413467407226562 × 2 - 1) × π
    -0.173065185546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.54370032
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.141433715820312 × 2 - 1) × π
    0.717132568359375 × 3.1415926535     		Φ = 2.2529384083434
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.54370032} λ = -0.54370032}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.2529384083434))-π/2
    2×atan(9.5156556783595)-π/2
    2×1.46609067795444-π/2
    2.93218135590887-1.57079632675     		φ = 1.36138503
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.54370032} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.151734°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36138503 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.001617°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54194 KachelY 18538 -0.54370032 1.36138503 -31.151734 78.001617
    Oben rechts KachelX + 1 54195 KachelY 18538 -0.54365238 1.36138503 -31.148987 78.001617
    Unten links KachelX 54194 KachelY + 1 18539 -0.54370032 1.36137506 -31.151734 78.001045
    Unten rechts KachelX + 1 54195 KachelY + 1 18539 -0.54365238 1.36137506 -31.148987 78.001045
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36138503-1.36137506) × R
    9.97000000002579e-06 × 6371000     		dl = 63.5188700001643m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36138503-1.36137506) × R
    9.97000000002579e-06 × 6371000     		dr = 63.5188700001643m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.54370032--0.54365238) × cos(1.36138503) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.207884093822043 × 6371000     		do = 63.4931531897854m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.54370032--0.54365238) × cos(1.36137506) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.20789384600177 × 6371000     		du = 63.496131756495m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36138503)-sin(1.36137506))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.207884093822043-0.20789384600177)×R²
    abs(-0.54365238--0.54370032)×9.75217972642994e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.75217972642994e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.75217972642994e-06×40589641000000     		ar = 4033.10794108868m²