Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54193 / 18537
↖ ↑ ↗
← N 78.002187°
W 31.154480°		 ← 63.48 m → N 78.002187°
W 31.151734°		 →
↑
63.46 m
↓
↑
63.46 m
↓
N 78.001617°
W 31.154480°		 ← 63.48 m →
4 028 m²		 N 78.001617°
W 31.151734°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54193 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18537 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.413463592529297 y=0.141429901123047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.413463592529297 × 217)
    floor (0.413463592529297 × 131072)
    floor (54193.5)     		tx = 54193
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.141429901123047 × 217)
    floor (0.141429901123047 × 131072)
    floor (18537.5)     		ty = 18537
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54193 / 18537 ti = "17/54193/18537"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54193/18537.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54193 ÷ 217
    54193 ÷ 131072     		x = 0.413459777832031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18537 ÷ 217
    18537 ÷ 131072     		y = 0.141426086425781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.413459777832031 × 2 - 1) × π
    -0.173080444335938 × 3.1415926535     		Λ = -0.54374825
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.141426086425781 × 2 - 1) × π
    0.717147827148438 × 3.1415926535     		Φ = 2.25298634524302
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.54374825} λ = -0.54374825}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.25298634524302))-π/2
    2×atan(9.51611184032398)-π/2
    2×1.46609566049711-π/2
    2.93219132099422-1.57079632675     		φ = 1.36139499
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.54374825} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.154480°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36139499 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.002187°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54193 KachelY 18537 -0.54374825 1.36139499 -31.154480 78.002187
    Oben rechts KachelX + 1 54194 KachelY 18537 -0.54370032 1.36139499 -31.151734 78.002187
    Unten links KachelX 54193 KachelY + 1 18538 -0.54374825 1.36138503 -31.154480 78.001617
    Unten rechts KachelX + 1 54194 KachelY + 1 18538 -0.54370032 1.36138503 -31.151734 78.001617
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36139499-1.36138503) × R
    9.95999999986452e-06 × 6371000     		dl = 63.4551599991369m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36139499-1.36138503) × R
    9.95999999986452e-06 × 6371000     		dr = 63.4551599991369m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.54374825--0.54370032) × cos(1.36139499) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.207874351403209 × 6371000     		do = 63.476933929456m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.54374825--0.54370032) × cos(1.36138503) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.207884093822043 × 6371000     		du = 63.4799088942485m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36139499)-sin(1.36138503))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.207874351403209-0.207884093822043)×R²
    abs(-0.54370032--0.54374825)×9.74241883477944e-06×R²
    4.79300000000293e-05×9.74241883477944e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×9.74241883477944e-06×40589641000000     		ar = 4028.03338728703m²