Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 54192 / 50736
↖ ↑ ↗
← S 69.748551°
E117.685547°		 ← 211.44 m → S 69.748551°
E117.691040°		 →
↑
211.39 m
↓
↑
211.39 m
↓
S 69.750452°
E117.685547°		 ← 211.42 m →
44 694 m²		 S 69.750452°
E117.691040°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54192 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50736 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.826911926269531 y=0.774177551269531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.826911926269531 × 216)
    floor (0.826911926269531 × 65536)
    floor (54192.5)     		tx = 54192
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.774177551269531 × 216)
    floor (0.774177551269531 × 65536)
    floor (50736.5)     		ty = 50736
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 54192 / 50736 ti = "16/54192/50736"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/54192/50736.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54192 ÷ 216
    54192 ÷ 65536     		x = 0.826904296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50736 ÷ 216
    50736 ÷ 65536     		y = 0.774169921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.826904296875 × 2 - 1) × π
    0.65380859375 × 3.1415926535     		Λ = 2.05400027
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.774169921875 × 2 - 1) × π
    -0.54833984375 × 3.1415926535     		Φ = -1.72266042474634
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.05400027} λ = 2.05400027}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.72266042474634))-π/2
    2×atan(0.178590389041307)-π/2
    2×0.176727230556573-π/2
    0.353454461113147-1.57079632675     		φ = -1.21734187
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.05400027} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.685547°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21734187 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.748551°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54192 KachelY 50736 2.05400027 -1.21734187 117.685547 -69.748551
    Oben rechts KachelX + 1 54193 KachelY 50736 2.05409615 -1.21734187 117.691040 -69.748551
    Unten links KachelX 54192 KachelY + 1 50737 2.05400027 -1.21737505 117.685547 -69.750452
    Unten rechts KachelX + 1 54193 KachelY + 1 50737 2.05409615 -1.21737505 117.691040 -69.750452
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21734187--1.21737505) × R
    3.3179999999966e-05 × 6371000     		dl = 211.389779999783m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21734187--1.21737505) × R
    3.3179999999966e-05 × 6371000     		dr = 211.389779999783m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.05400027-2.05409615) × cos(-1.21734187) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.346140777508011 × 6371000     		do = 211.440606228981m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.05400027-2.05409615) × cos(-1.21737505) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.346109648419323 × 6371000     		du = 211.421590979084m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21734187)-sin(-1.21737505))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.346140777508011-0.346109648419323)×R²
    abs(2.05409615-2.05400027)×3.11290886883531e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.11290886883531e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.11290886883531e-05×40589641000000     		ar = 44694.3734228635m²