Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 54192 / 23920
↖ ↑ ↗
← N 43.644026°
E117.685547°		 ← 442.04 m → N 43.644026°
E117.691040°		 →
↑
442.02 m
↓
↑
442.02 m
↓
N 43.640051°
E117.685547°		 ← 442.07 m →
195 396 m²		 N 43.640051°
E117.691040°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54192 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23920 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.826911926269531 y=0.364997863769531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.826911926269531 × 216)
    floor (0.826911926269531 × 65536)
    floor (54192.5)     		tx = 54192
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.364997863769531 × 216)
    floor (0.364997863769531 × 65536)
    floor (23920.5)     		ty = 23920
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 54192 / 23920 ti = "16/54192/23920"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/54192/23920.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54192 ÷ 216
    54192 ÷ 65536     		x = 0.826904296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23920 ÷ 216
    23920 ÷ 65536     		y = 0.364990234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.826904296875 × 2 - 1) × π
    0.65380859375 × 3.1415926535     		Λ = 2.05400027
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.364990234375 × 2 - 1) × π
    0.27001953125 × 3.1415926535     		Φ = 0.848291375676514
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.05400027} λ = 2.05400027}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.848291375676514))-π/2
    2×atan(2.33565268764126)-π/2
    2×1.16626413832261-π/2
    2.33252827664522-1.57079632675     		φ = 0.76173195
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.05400027} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.685547°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.76173195 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 43.644026°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54192 KachelY 23920 2.05400027 0.76173195 117.685547 43.644026
    Oben rechts KachelX + 1 54193 KachelY 23920 2.05409615 0.76173195 117.691040 43.644026
    Unten links KachelX 54192 KachelY + 1 23921 2.05400027 0.76166257 117.685547 43.640051
    Unten rechts KachelX + 1 54193 KachelY + 1 23921 2.05409615 0.76166257 117.691040 43.640051
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.76173195-0.76166257) × R
    6.93800000000078e-05 × 6371000     		dl = 442.019980000049m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.76173195-0.76166257) × R
    6.93800000000078e-05 × 6371000     		dr = 442.019980000049m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.05400027-2.05409615) × cos(0.76173195) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.723641746713376 × 6371000     		do = 442.037631969361m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.05400027-2.05409615) × cos(0.76166257) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.723689629368059 × 6371000     		du = 442.06688115984m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.76173195)-sin(0.76166257))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.723641746713376-0.723689629368059)×R²
    abs(2.05409615-2.05400027)×4.7882654682363e-05×R²
    9.58799999999371e-05×4.7882654682363e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×4.7882654682363e-05×40589641000000     		ar = 195395.92968401m²