Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 54190 / 50762
↖ ↑ ↗
← S 69.797930°
E117.674561°		 ← 210.92 m → S 69.797930°
E117.680054°		 →
↑
210.94 m
↓
↑
210.94 m
↓
S 69.799827°
E117.674561°		 ← 210.91 m →
44 491 m²		 S 69.799827°
E117.680054°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54190 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50762 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.826881408691406 y=0.774574279785156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.826881408691406 × 216)
    floor (0.826881408691406 × 65536)
    floor (54190.5)     		tx = 54190
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.774574279785156 × 216)
    floor (0.774574279785156 × 65536)
    floor (50762.5)     		ty = 50762
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 54190 / 50762 ti = "16/54190/50762"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/54190/50762.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54190 ÷ 216
    54190 ÷ 65536     		x = 0.826873779296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50762 ÷ 216
    50762 ÷ 65536     		y = 0.774566650390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.826873779296875 × 2 - 1) × π
    0.65374755859375 × 3.1415926535     		Λ = 2.05380853
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.774566650390625 × 2 - 1) × π
    -0.54913330078125 × 3.1415926535     		Φ = -1.72515314352658
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.05380853} λ = 2.05380853}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.72515314352658))-π/2
    2×atan(0.178145767812643)-π/2
    2×0.176296318863507-π/2
    0.352592637727013-1.57079632675     		φ = -1.21820369
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.05380853} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.674561°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21820369 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.797930°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54190 KachelY 50762 2.05380853 -1.21820369 117.674561 -69.797930
    Oben rechts KachelX + 1 54191 KachelY 50762 2.05390440 -1.21820369 117.680054 -69.797930
    Unten links KachelX 54190 KachelY + 1 50763 2.05380853 -1.21823680 117.674561 -69.799827
    Unten rechts KachelX + 1 54191 KachelY + 1 50763 2.05390440 -1.21823680 117.680054 -69.799827
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21820369--1.21823680) × R
    3.31099999999473e-05 × 6371000     		dl = 210.943809999665m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21820369--1.21823680) × R
    3.31099999999473e-05 × 6371000     		dr = 210.943809999665m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.05380853-2.05390440) × cos(-1.21820369) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.34533210454779 × 6371000     		do = 210.924626046147m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.05380853-2.05390440) × cos(-1.21823680) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.345301031267587 × 6371000     		du = 210.905646866625m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21820369)-sin(-1.21823680))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.34533210454779-0.345301031267587)×R²
    abs(2.05390440-2.05380853)×3.10732802027425e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.10732802027425e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.10732802027425e-05×40589641000000     		ar = 44491.2424750134m²