Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 54189 / 50759
↖ ↑ ↗
← S 69.792238°
E117.669067°		 ← 211 m → S 69.792238°
E117.674561°		 →
↑
211.01 m
↓
↑
211.01 m
↓
S 69.794136°
E117.669067°		 ← 210.98 m →
44 521 m²		 S 69.794136°
E117.674561°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54189 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50759 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.826866149902344 y=0.774528503417969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.826866149902344 × 216)
    floor (0.826866149902344 × 65536)
    floor (54189.5)     		tx = 54189
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.774528503417969 × 216)
    floor (0.774528503417969 × 65536)
    floor (50759.5)     		ty = 50759
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 54189 / 50759 ti = "16/54189/50759"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/54189/50759.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54189 ÷ 216
    54189 ÷ 65536     		x = 0.826858520507812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50759 ÷ 216
    50759 ÷ 65536     		y = 0.774520874023438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.826858520507812 × 2 - 1) × π
    0.653717041015625 × 3.1415926535     		Λ = 2.05371265
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.774520874023438 × 2 - 1) × π
    -0.549041748046875 × 3.1415926535     		Φ = -1.72486552212886
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.05371265} λ = 2.05371265}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.72486552212886))-π/2
    2×atan(0.178197013716735)-π/2
    2×0.176345988018068-π/2
    0.352691976036136-1.57079632675     		φ = -1.21810435
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.05371265} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.669067°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21810435 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.792238°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54189 KachelY 50759 2.05371265 -1.21810435 117.669067 -69.792238
    Oben rechts KachelX + 1 54190 KachelY 50759 2.05380853 -1.21810435 117.674561 -69.792238
    Unten links KachelX 54189 KachelY + 1 50760 2.05371265 -1.21813747 117.669067 -69.794136
    Unten rechts KachelX + 1 54190 KachelY + 1 50760 2.05380853 -1.21813747 117.674561 -69.794136
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21810435--1.21813747) × R
    3.31200000001086e-05 × 6371000     		dl = 211.007520000692m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21810435--1.21813747) × R
    3.31200000001086e-05 × 6371000     		dr = 211.007520000692m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.05371265-2.05380853) × cos(-1.21810435) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.345425331501257 × 6371000     		do = 211.003574976895m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.05371265-2.05380853) × cos(-1.21813747) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.345394249972427 × 6371000     		du = 210.984588779009m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21810435)-sin(-1.21813747))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.345425331501257-0.345394249972427)×R²
    abs(2.05380853-2.05371265)×3.10815288292465e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.10815288292465e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.10815288292465e-05×40589641000000     		ar = 44521.3379563089m²