Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 54188 / 50788
↖ ↑ ↗
← S 69.847194°
E117.663574°		 ← 210.43 m → S 69.847194°
E117.669067°		 →
↑
210.43 m
↓
↑
210.43 m
↓
S 69.849086°
E117.663574°		 ← 210.41 m →
44 280 m²		 S 69.849086°
E117.669067°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54188 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50788 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.826850891113281 y=0.774971008300781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.826850891113281 × 216)
    floor (0.826850891113281 × 65536)
    floor (54188.5)     		tx = 54188
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.774971008300781 × 216)
    floor (0.774971008300781 × 65536)
    floor (50788.5)     		ty = 50788
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 54188 / 50788 ti = "16/54188/50788"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/54188/50788.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54188 ÷ 216
    54188 ÷ 65536     		x = 0.82684326171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50788 ÷ 216
    50788 ÷ 65536     		y = 0.77496337890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.82684326171875 × 2 - 1) × π
    0.6536865234375 × 3.1415926535     		Λ = 2.05361678
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.77496337890625 × 2 - 1) × π
    -0.5499267578125 × 3.1415926535     		Φ = -1.72764586230682
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.05361678} λ = 2.05361678}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.72764586230682))-π/2
    2×atan(0.177702253519453)-π/2
    2×0.175866414053121-π/2
    0.351732828106242-1.57079632675     		φ = -1.21906350
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.05361678} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.663574°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21906350 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.847194°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54188 KachelY 50788 2.05361678 -1.21906350 117.663574 -69.847194
    Oben rechts KachelX + 1 54189 KachelY 50788 2.05371265 -1.21906350 117.669067 -69.847194
    Unten links KachelX 54188 KachelY + 1 50789 2.05361678 -1.21909653 117.663574 -69.849086
    Unten rechts KachelX + 1 54189 KachelY + 1 50789 2.05371265 -1.21909653 117.669067 -69.849086
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21906350--1.21909653) × R
    3.30299999999895e-05 × 6371000     		dl = 210.434129999933m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21906350--1.21909653) × R
    3.30299999999895e-05 × 6371000     		dr = 210.434129999933m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.05361678-2.05371265) × cos(-1.21906350) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.344525062040496 × 6371000     		do = 210.431694352822m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.05361678-2.05371265) × cos(-1.21909653) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.344494054044283 × 6371000     		du = 210.412755047962m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21906350)-sin(-1.21909653))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.344525062040496-0.344494054044283)×R²
    abs(2.05371265-2.05361678)×3.10079962134724e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.10079962134724e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.10079962134724e-05×40589641000000     		ar = 44280.0177918541m²