Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 54188 / 50076
↖ ↑ ↗
← S 68.455732°
E117.663574°		 ← 224.29 m → S 68.455732°
E117.669067°		 →
↑
224.26 m
↓
↑
224.26 m
↓
S 68.457749°
E117.663574°		 ← 224.27 m →
50 298 m²		 S 68.457749°
E117.669067°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54188 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50076 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.826850891113281 y=0.764106750488281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.826850891113281 × 216)
    floor (0.826850891113281 × 65536)
    floor (54188.5)     		tx = 54188
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.764106750488281 × 216)
    floor (0.764106750488281 × 65536)
    floor (50076.5)     		ty = 50076
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 54188 / 50076 ti = "16/54188/50076"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/54188/50076.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54188 ÷ 216
    54188 ÷ 65536     		x = 0.82684326171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50076 ÷ 216
    50076 ÷ 65536     		y = 0.76409912109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.82684326171875 × 2 - 1) × π
    0.6536865234375 × 3.1415926535     		Λ = 2.05361678
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.76409912109375 × 2 - 1) × π
    -0.5281982421875 × 3.1415926535     		Φ = -1.65938371724786
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.05361678} λ = 2.05361678}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.65938371724786))-π/2
    2×atan(0.190256195590698)-π/2
    2×0.188009204065646-π/2
    0.376018408131291-1.57079632675     		φ = -1.19477792
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.05361678} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.663574°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19477792 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.455732°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54188 KachelY 50076 2.05361678 -1.19477792 117.663574 -68.455732
    Oben rechts KachelX + 1 54189 KachelY 50076 2.05371265 -1.19477792 117.669067 -68.455732
    Unten links KachelX 54188 KachelY + 1 50077 2.05361678 -1.19481312 117.663574 -68.457749
    Unten rechts KachelX + 1 54189 KachelY + 1 50077 2.05371265 -1.19481312 117.669067 -68.457749
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19477792--1.19481312) × R
    3.5200000000124e-05 × 6371000     		dl = 224.25920000079m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19477792--1.19481312) × R
    3.5200000000124e-05 × 6371000     		dr = 224.25920000079m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.05361678-2.05371265) × cos(-1.19477792) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.367219974266899 × 6371000     		do = 224.293469181932m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.05361678-2.05371265) × cos(-1.19481312) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.367187233318206 × 6371000     		du = 224.273471410892m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19477792)-sin(-1.19481312))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.367219974266899-0.367187233318206)×R²
    abs(2.05371265-2.05361678)×3.27409486936547e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.27409486936547e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.27409486936547e-05×40589641000000     		ar = 50297.6316271113m²