Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 54188 / 13531
↖ ↑ ↗
← N 80.548773°
W 31.168213°		 ← 50.15 m → N 80.548773°
W 31.165466°		 →
↑
50.14 m
↓
↑
50.14 m
↓
N 80.548322°
W 31.168213°		 ← 50.16 m →
2 515 m²		 N 80.548322°
W 31.165466°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54188 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13531 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.413425445556641 y=0.103237152099609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.413425445556641 × 217)
    floor (0.413425445556641 × 131072)
    floor (54188.5)     		tx = 54188
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.103237152099609 × 217)
    floor (0.103237152099609 × 131072)
    floor (13531.5)     		ty = 13531
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54188 / 13531 ti = "17/54188/13531"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54188/13531.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54188 ÷ 217
    54188 ÷ 131072     		x = 0.413421630859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13531 ÷ 217
    13531 ÷ 131072     		y = 0.103233337402344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.413421630859375 × 2 - 1) × π
    -0.17315673828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.54398794
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.103233337402344 × 2 - 1) × π
    0.793533325195312 × 3.1415926535     		Φ = 2.49295846474102
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.54398794} λ = -0.54398794}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.49295846474102))-π/2
    2×atan(12.0970118159115)-π/2
    2×1.48831881311037-π/2
    2.97663762622074-1.57079632675     		φ = 1.40584130
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.54398794} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.168213°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40584130 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.548773°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54188 KachelY 13531 -0.54398794 1.40584130 -31.168213 80.548773
    Oben rechts KachelX + 1 54189 KachelY 13531 -0.54394000 1.40584130 -31.165466 80.548773
    Unten links KachelX 54188 KachelY + 1 13532 -0.54398794 1.40583343 -31.168213 80.548322
    Unten rechts KachelX + 1 54189 KachelY + 1 13532 -0.54394000 1.40583343 -31.165466 80.548322
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40584130-1.40583343) × R
    7.87000000013194e-06 × 6371000     		dl = 50.1397700008406m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40584130-1.40583343) × R
    7.87000000013194e-06 × 6371000     		dr = 50.1397700008406m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.54398794--0.54394000) × cos(1.40584130) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.164207968429376 × 6371000     		do = 50.1533402714058m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.54398794--0.54394000) × cos(1.40583343) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.164215731594874 × 6371000     		du = 50.155711341973m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40584130)-sin(1.40583343))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.164207968429376-0.164215731594874)×R²
    abs(-0.54394000--0.54398794)×7.76316549883083e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.76316549883083e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.76316549883083e-06×40589641000000     		ar = 2514.73638851568m²