Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54187 / 13532
↖ ↑ ↗
← N 80.548322°
W 31.170959°		 ← 50.15 m → N 80.548322°
W 31.168213°		 →
↑
50.14 m
↓
↑
50.14 m
↓
N 80.547871°
W 31.170959°		 ← 50.15 m →
2 514 m²		 N 80.547871°
W 31.168213°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54187 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13532 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.413417816162109 y=0.103244781494141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.413417816162109 × 217)
    floor (0.413417816162109 × 131072)
    floor (54187.5)     		tx = 54187
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.103244781494141 × 217)
    floor (0.103244781494141 × 131072)
    floor (13532.5)     		ty = 13532
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54187 / 13532 ti = "17/54187/13532"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54187/13532.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54187 ÷ 217
    54187 ÷ 131072     		x = 0.413414001464844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13532 ÷ 217
    13532 ÷ 131072     		y = 0.103240966796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.413414001464844 × 2 - 1) × π
    -0.173171997070312 × 3.1415926535     		Λ = -0.54403587
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.103240966796875 × 2 - 1) × π
    0.79351806640625 × 3.1415926535     		Φ = 2.4929105278414
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.54403587} λ = -0.54403587}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.4929105278414))-π/2
    2×atan(12.0964319365693)-π/2
    2×1.48831487720685-π/2
    2.9766297544137-1.57079632675     		φ = 1.40583343
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.54403587} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.170959°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40583343 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.548322°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54187 KachelY 13532 -0.54403587 1.40583343 -31.170959 80.548322
    Oben rechts KachelX + 1 54188 KachelY 13532 -0.54398794 1.40583343 -31.168213 80.548322
    Unten links KachelX 54187 KachelY + 1 13533 -0.54403587 1.40582556 -31.170959 80.547871
    Unten rechts KachelX + 1 54188 KachelY + 1 13533 -0.54398794 1.40582556 -31.168213 80.547871
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40583343-1.40582556) × R
    7.86999999990989e-06 × 6371000     		dl = 50.1397699994259m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40583343-1.40582556) × R
    7.86999999990989e-06 × 6371000     		dr = 50.1397699994259m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.54403587--0.54398794) × cos(1.40583343) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.164215731594874 × 6371000     		do = 50.1452491577767m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.54403587--0.54398794) × cos(1.40582556) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.164223494750202 × 6371000     		du = 50.1476197306467m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40583343)-sin(1.40582556))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.164215731594874-0.164223494750202)×R²
    abs(-0.54398794--0.54403587)×7.76315532760585e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.76315532760585e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.76315532760585e-06×40589641000000     		ar = 2514.33068913843m²