Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54186 / 13528
↖ ↑ ↗
← N 80.550126°
W 31.173706°		 ← 50.15 m → N 80.550126°
W 31.170959°		 →
↑
50.14 m
↓
↑
50.14 m
↓
N 80.549675°
W 31.173706°		 ← 50.15 m →
2 514 m²		 N 80.549675°
W 31.170959°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54186 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13528 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.413410186767578 y=0.103214263916016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.413410186767578 × 217)
    floor (0.413410186767578 × 131072)
    floor (54186.5)     		tx = 54186
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.103214263916016 × 217)
    floor (0.103214263916016 × 131072)
    floor (13528.5)     		ty = 13528
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54186 / 13528 ti = "17/54186/13528"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54186/13528.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54186 ÷ 217
    54186 ÷ 131072     		x = 0.413406372070312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13528 ÷ 217
    13528 ÷ 131072     		y = 0.10321044921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.413406372070312 × 2 - 1) × π
    -0.173187255859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.54408381
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.10321044921875 × 2 - 1) × π
    0.7935791015625 × 3.1415926535     		Φ = 2.49310227543988
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.54408381} λ = -0.54408381}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.49310227543988))-π/2
    2×atan(12.0987516207332)-π/2
    2×1.48833061970431-π/2
    2.97666123940861-1.57079632675     		φ = 1.40586491
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.54408381} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.173706°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40586491 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.550126°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54186 KachelY 13528 -0.54408381 1.40586491 -31.173706 80.550126
    Oben rechts KachelX + 1 54187 KachelY 13528 -0.54403587 1.40586491 -31.170959 80.550126
    Unten links KachelX 54186 KachelY + 1 13529 -0.54408381 1.40585704 -31.173706 80.549675
    Unten rechts KachelX + 1 54187 KachelY + 1 13529 -0.54403587 1.40585704 -31.170959 80.549675
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40586491-1.40585704) × R
    7.87000000013194e-06 × 6371000     		dl = 50.1397700008406m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40586491-1.40585704) × R
    7.87000000013194e-06 × 6371000     		dr = 50.1397700008406m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.54408381--0.54403587) × cos(1.40586491) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.164184678871858 × 6371000     		do = 50.1462270410668m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.54408381--0.54403587) × cos(1.40585704) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.164192442067867 × 6371000     		du = 50.1485981209526m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40586491)-sin(1.40585704))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.164184678871858-0.164192442067867)×R²
    abs(-0.54403587--0.54408381)×7.76319600900854e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.76319600900854e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.76319600900854e-06×40589641000000     		ar = 2514.37973297736m²