Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 54184 / 50789
↖ ↑ ↗
← S 69.849086°
E117.641601°		 ← 210.43 m → S 69.849086°
E117.647095°		 →
↑
210.37 m
↓
↑
210.37 m
↓
S 69.850978°
E117.641601°		 ← 210.42 m →
44 267 m²		 S 69.850978°
E117.647095°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54184 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50789 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.826789855957031 y=0.774986267089844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.826789855957031 × 216)
    floor (0.826789855957031 × 65536)
    floor (54184.5)     		tx = 54184
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.774986267089844 × 216)
    floor (0.774986267089844 × 65536)
    floor (50789.5)     		ty = 50789
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 54184 / 50789 ti = "16/54184/50789"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/54184/50789.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54184 ÷ 216
    54184 ÷ 65536     		x = 0.8267822265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50789 ÷ 216
    50789 ÷ 65536     		y = 0.774978637695312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8267822265625 × 2 - 1) × π
    0.653564453125 × 3.1415926535     		Λ = 2.05323328
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.774978637695312 × 2 - 1) × π
    -0.549957275390625 × 3.1415926535     		Φ = -1.72774173610606
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.05323328} λ = 2.05323328}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.72774173610606))-π/2
    2×atan(0.177685217345948)-π/2
    2×0.175849899332957-π/2
    0.351699798665914-1.57079632675     		φ = -1.21909653
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.05323328} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.641601°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21909653 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.849086°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54184 KachelY 50789 2.05323328 -1.21909653 117.641601 -69.849086
    Oben rechts KachelX + 1 54185 KachelY 50789 2.05332916 -1.21909653 117.647095 -69.849086
    Unten links KachelX 54184 KachelY + 1 50790 2.05323328 -1.21912955 117.641601 -69.850978
    Unten rechts KachelX + 1 54185 KachelY + 1 50790 2.05332916 -1.21912955 117.647095 -69.850978
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21909653--1.21912955) × R
    3.30199999998282e-05 × 6371000     		dl = 210.370419998905m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21909653--1.21912955) × R
    3.30199999998282e-05 × 6371000     		dr = 210.370419998905m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.05323328-2.05332916) × cos(-1.21909653) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.344494054044283 × 6371000     		do = 210.434702764012m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.05323328-2.05332916) × cos(-1.21912955) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.344463055060232 × 6371000     		du = 210.415766988726m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21909653)-sin(-1.21912955))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.344494054044283-0.344463055060232)×R²
    abs(2.05332916-2.05323328)×3.09989840510116e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.09989840510116e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.09989840510116e-05×40589641000000     		ar = 44267.24504333m²