Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 54184 / 50757
↖ ↑ ↗
← S 69.788443°
E117.641601°		 ← 211.04 m → S 69.788443°
E117.647095°		 →
↑
211.01 m
↓
↑
211.01 m
↓
S 69.790341°
E117.641601°		 ← 211.02 m →
44 529 m²		 S 69.790341°
E117.647095°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54184 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50757 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.826789855957031 y=0.774497985839844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.826789855957031 × 216)
    floor (0.826789855957031 × 65536)
    floor (54184.5)     		tx = 54184
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.774497985839844 × 216)
    floor (0.774497985839844 × 65536)
    floor (50757.5)     		ty = 50757
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 54184 / 50757 ti = "16/54184/50757"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/54184/50757.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54184 ÷ 216
    54184 ÷ 65536     		x = 0.8267822265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50757 ÷ 216
    50757 ÷ 65536     		y = 0.774490356445312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8267822265625 × 2 - 1) × π
    0.653564453125 × 3.1415926535     		Λ = 2.05323328
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.774490356445312 × 2 - 1) × π
    -0.548980712890625 × 3.1415926535     		Φ = -1.72467377453038
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.05323328} λ = 2.05323328}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.72467377453038))-π/2
    2×atan(0.178231185842278)-π/2
    2×0.176379108236677-π/2
    0.352758216473354-1.57079632675     		φ = -1.21803811
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.05323328} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.641601°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21803811 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.788443°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54184 KachelY 50757 2.05323328 -1.21803811 117.641601 -69.788443
    Oben rechts KachelX + 1 54185 KachelY 50757 2.05332916 -1.21803811 117.647095 -69.788443
    Unten links KachelX 54184 KachelY + 1 50758 2.05323328 -1.21807123 117.641601 -69.790341
    Unten rechts KachelX + 1 54185 KachelY + 1 50758 2.05332916 -1.21807123 117.647095 -69.790341
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21803811--1.21807123) × R
    3.31200000001086e-05 × 6371000     		dl = 211.007520000692m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21803811--1.21807123) × R
    3.31200000001086e-05 × 6371000     		dr = 211.007520000692m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.05323328-2.05332916) × cos(-1.21803811) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.345487493422154 × 6371000     		do = 211.041546678275m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.05323328-2.05332916) × cos(-1.21807123) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.345456412651177 × 6371000     		du = 211.022560943324m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21803811)-sin(-1.21807123))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.345487493422154-0.345456412651177)×R²
    abs(2.05332916-2.05323328)×3.10807709772987e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.10807709772987e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.10807709772987e-05×40589641000000     		ar = 44529.3503191409m²