Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54184 / 14712
↖ ↑ ↗
← N 80.000984°
W 31.179199°		 ← 53.02 m → N 80.000984°
W 31.176453°		 →
↑
53.01 m
↓
↑
53.01 m
↓
N 80.000508°
W 31.179199°		 ← 53.02 m →
2 811 m²		 N 80.000508°
W 31.176453°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54184 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14712 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.413394927978516 y=0.112247467041016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.413394927978516 × 217)
    floor (0.413394927978516 × 131072)
    floor (54184.5)     		tx = 54184
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.112247467041016 × 217)
    floor (0.112247467041016 × 131072)
    floor (14712.5)     		ty = 14712
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54184 / 14712 ti = "17/54184/14712"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54184/14712.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54184 ÷ 217
    54184 ÷ 131072     		x = 0.41339111328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14712 ÷ 217
    14712 ÷ 131072     		y = 0.11224365234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.41339111328125 × 2 - 1) × π
    -0.1732177734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.54417968
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.11224365234375 × 2 - 1) × π
    0.7755126953125 × 3.1415926535     		Φ = 2.43634498628973
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.54417968} λ = -0.54417968}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.43634498628973))-π/2
    2×atan(11.4311831631935)-π/2
    2×1.48353845350733-π/2
    2.96707690701465-1.57079632675     		φ = 1.39628058
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.54417968} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.179199°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39628058 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.000984°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54184 KachelY 14712 -0.54417968 1.39628058 -31.179199 80.000984
    Oben rechts KachelX + 1 54185 KachelY 14712 -0.54413175 1.39628058 -31.176453 80.000984
    Unten links KachelX 54184 KachelY + 1 14713 -0.54417968 1.39627226 -31.179199 80.000508
    Unten rechts KachelX + 1 54185 KachelY + 1 14713 -0.54413175 1.39627226 -31.176453 80.000508
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39628058-1.39627226) × R
    8.32000000006161e-06 × 6371000     		dl = 53.0067200003925m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39628058-1.39627226) × R
    8.32000000006161e-06 × 6371000     		dr = 53.0067200003925m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.54417968--0.54413175) × cos(1.39628058) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.173631260215338 × 6371000     		do = 53.0203940908463m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.54417968--0.54413175) × cos(1.39627226) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.173639453834651 × 6371000     		du = 53.0228961110727m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39628058)-sin(1.39627226))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.173631260215338-0.173639453834651)×R²
    abs(-0.54413175--0.54417968)×8.19361931278517e-06×R²
    4.79300000000293e-05×8.19361931278517e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×8.19361931278517e-06×40589641000000     		ar = 2810.50349584411m²