Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54183 / 14747
↖ ↑ ↗
← N 79.984279°
W 31.181946°		 ← 53.12 m → N 79.984279°
W 31.179199°		 →
↑
53.07 m
↓
↑
53.07 m
↓
N 79.983802°
W 31.181946°		 ← 53.12 m →
2 819 m²		 N 79.983802°
W 31.179199°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54183 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14747 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.413387298583984 y=0.112514495849609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.413387298583984 × 217)
    floor (0.413387298583984 × 131072)
    floor (54183.5)     		tx = 54183
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.112514495849609 × 217)
    floor (0.112514495849609 × 131072)
    floor (14747.5)     		ty = 14747
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54183 / 14747 ti = "17/54183/14747"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54183/14747.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54183 ÷ 217
    54183 ÷ 131072     		x = 0.413383483886719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14747 ÷ 217
    14747 ÷ 131072     		y = 0.112510681152344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.413383483886719 × 2 - 1) × π
    -0.173233032226562 × 3.1415926535     		Λ = -0.54422762
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.112510681152344 × 2 - 1) × π
    0.774978637695312 × 3.1415926535     		Φ = 2.43466719480303
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.54422762} λ = -0.54422762}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.43466719480303))-π/2
    2×atan(11.4120201017054)-π/2
    2×1.48339267458186-π/2
    2.96678534916371-1.57079632675     		φ = 1.39598902
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.54422762} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.181946°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39598902 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.984279°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54183 KachelY 14747 -0.54422762 1.39598902 -31.181946 79.984279
    Oben rechts KachelX + 1 54184 KachelY 14747 -0.54417968 1.39598902 -31.179199 79.984279
    Unten links KachelX 54183 KachelY + 1 14748 -0.54422762 1.39598069 -31.181946 79.983802
    Unten rechts KachelX + 1 54184 KachelY + 1 14748 -0.54417968 1.39598069 -31.179199 79.983802
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39598902-1.39598069) × R
    8.33000000000084e-06 × 6371000     		dl = 53.0704300000053m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39598902-1.39598069) × R
    8.33000000000084e-06 × 6371000     		dr = 53.0704300000053m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.54422762--0.54417968) × cos(1.39598902) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.173918384249462 × 6371000     		do = 53.1191512089615m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.54422762--0.54417968) × cos(1.39598069) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.173926587294812 × 6371000     		du = 53.1216566301577m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39598902)-sin(1.39598069))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.173918384249462-0.173926587294812)×R²
    abs(-0.54417968--0.54422762)×8.20304534965288e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.20304534965288e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.20304534965288e-06×40589641000000     		ar = 2819.12267786428m²