Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54182 / 13525
↖ ↑ ↗
← N 80.551479°
W 31.184692°		 ← 50.14 m → N 80.551479°
W 31.181946°		 →
↑
50.14 m
↓
↑
50.14 m
↓
N 80.551028°
W 31.184692°		 ← 50.14 m →
2 514 m²		 N 80.551028°
W 31.181946°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54182 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13525 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.413379669189453 y=0.103191375732422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.413379669189453 × 217)
    floor (0.413379669189453 × 131072)
    floor (54182.5)     		tx = 54182
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.103191375732422 × 217)
    floor (0.103191375732422 × 131072)
    floor (13525.5)     		ty = 13525
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54182 / 13525 ti = "17/54182/13525"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54182/13525.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54182 ÷ 217
    54182 ÷ 131072     		x = 0.413375854492188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13525 ÷ 217
    13525 ÷ 131072     		y = 0.103187561035156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.413375854492188 × 2 - 1) × π
    -0.173248291015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.54427556
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.103187561035156 × 2 - 1) × π
    0.793624877929688 × 3.1415926535     		Φ = 2.49324608613874
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.54427556} λ = -0.54427556}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.49324608613874))-π/2
    2×atan(12.1004916757753)-π/2
    2×1.48834242462349-π/2
    2.97668484924697-1.57079632675     		φ = 1.40588852
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.54427556} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.184692°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40588852 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.551479°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54182 KachelY 13525 -0.54427556 1.40588852 -31.184692 80.551479
    Oben rechts KachelX + 1 54183 KachelY 13525 -0.54422762 1.40588852 -31.181946 80.551479
    Unten links KachelX 54182 KachelY + 1 13526 -0.54427556 1.40588065 -31.184692 80.551028
    Unten rechts KachelX + 1 54183 KachelY + 1 13526 -0.54422762 1.40588065 -31.181946 80.551028
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40588852-1.40588065) × R
    7.86999999990989e-06 × 6371000     		dl = 50.1397699994259m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40588852-1.40588065) × R
    7.86999999990989e-06 × 6371000     		dr = 50.1397699994259m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.54427556--0.54422762) × cos(1.40588852) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.164161389222819 × 6371000     		do = 50.1391137827747m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.54427556--0.54422762) × cos(1.40588065) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.164169152449334 × 6371000     		du = 50.1414848719777m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40588852)-sin(1.40588065))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.164161389222819-0.164169152449334)×R²
    abs(-0.54422762--0.54427556)×7.76322651460659e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.76322651460659e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.76322651460659e-06×40589641000000     		ar = 2514.02307614283m²