Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 54180 / 50758
↖ ↑ ↗
← S 69.790341°
E117.619629°		 ← 211 m → S 69.790341°
E117.625122°		 →
↑
211.01 m
↓
↑
211.01 m
↓
S 69.792238°
E117.619629°		 ← 210.98 m →
44 521 m²		 S 69.792238°
E117.625122°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54180 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50758 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.826728820800781 y=0.774513244628906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.826728820800781 × 216)
    floor (0.826728820800781 × 65536)
    floor (54180.5)     		tx = 54180
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.774513244628906 × 216)
    floor (0.774513244628906 × 65536)
    floor (50758.5)     		ty = 50758
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 54180 / 50758 ti = "16/54180/50758"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/54180/50758.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54180 ÷ 216
    54180 ÷ 65536     		x = 0.82672119140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50758 ÷ 216
    50758 ÷ 65536     		y = 0.774505615234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.82672119140625 × 2 - 1) × π
    0.6534423828125 × 3.1415926535     		Λ = 2.05284979
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.774505615234375 × 2 - 1) × π
    -0.54901123046875 × 3.1415926535     		Φ = -1.72476964832962
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.05284979} λ = 2.05284979}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.72476964832962))-π/2
    2×atan(0.178214098960454)-π/2
    2×0.176362547382405-π/2
    0.35272509476481-1.57079632675     		φ = -1.21807123
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.05284979} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.619629°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21807123 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.790341°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54180 KachelY 50758 2.05284979 -1.21807123 117.619629 -69.790341
    Oben rechts KachelX + 1 54181 KachelY 50758 2.05294566 -1.21807123 117.625122 -69.790341
    Unten links KachelX 54180 KachelY + 1 50759 2.05284979 -1.21810435 117.619629 -69.792238
    Unten rechts KachelX + 1 54181 KachelY + 1 50759 2.05294566 -1.21810435 117.625122 -69.792238
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21807123--1.21810435) × R
    3.31199999998866e-05 × 6371000     		dl = 211.007519999277m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21807123--1.21810435) × R
    3.31199999998866e-05 × 6371000     		dr = 211.007519999277m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.05284979-2.05294566) × cos(-1.21807123) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.345456412651177 × 6371000     		do = 211.000551915407m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.05284979-2.05294566) × cos(-1.21810435) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.345425331501257 × 6371000     		du = 210.981567929159m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21807123)-sin(-1.21810435))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.345456412651177-0.345425331501257)×R²
    abs(2.05294566-2.05284979)×3.10811499200647e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.10811499200647e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.10811499200647e-05×40589641000000     		ar = 44520.7003002226m²