Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54180 / 13981
↖ ↑ ↗
← N 80.343644°
W 31.190185°		 ← 51.22 m → N 80.343644°
W 31.187439°		 →
↑
51.22 m
↓
↑
51.22 m
↓
N 80.343183°
W 31.190185°		 ← 51.22 m →
2 624 m²		 N 80.343183°
W 31.187439°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54180 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13981 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.413364410400391 y=0.106670379638672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.413364410400391 × 217)
    floor (0.413364410400391 × 131072)
    floor (54180.5)     		tx = 54180
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.106670379638672 × 217)
    floor (0.106670379638672 × 131072)
    floor (13981.5)     		ty = 13981
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54180 / 13981 ti = "17/54180/13981"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54180/13981.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54180 ÷ 217
    54180 ÷ 131072     		x = 0.413360595703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13981 ÷ 217
    13981 ÷ 131072     		y = 0.106666564941406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.413360595703125 × 2 - 1) × π
    -0.17327880859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.54437143
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.106666564941406 × 2 - 1) × π
    0.786666870117188 × 3.1415926535     		Φ = 2.47138685991199
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.54437143} λ = -0.54437143}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.47138685991199))-π/2
    2×atan(11.8388543040358)-π/2
    2×1.4865287242498-π/2
    2.97305744849959-1.57079632675     		φ = 1.40226112
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.54437143} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.190185°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40226112 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.343644°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54180 KachelY 13981 -0.54437143 1.40226112 -31.190185 80.343644
    Oben rechts KachelX + 1 54181 KachelY 13981 -0.54432350 1.40226112 -31.187439 80.343644
    Unten links KachelX 54180 KachelY + 1 13982 -0.54437143 1.40225308 -31.190185 80.343183
    Unten rechts KachelX + 1 54181 KachelY + 1 13982 -0.54432350 1.40225308 -31.187439 80.343183
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40226112-1.40225308) × R
    8.03999999998695e-06 × 6371000     		dl = 51.2228399999168m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40226112-1.40225308) × R
    8.03999999998695e-06 × 6371000     		dr = 51.2228399999168m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.54437143--0.54432350) × cos(1.40226112) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.167738490213227 × 6371000     		do = 51.2209658806775m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.54437143--0.54432350) × cos(1.40225308) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.16774641629328 × 6371000     		du = 51.2233862045723m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40226112)-sin(1.40225308))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.167738490213227-0.16774641629328)×R²
    abs(-0.54432350--0.54437143)×7.92608005259487e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.92608005259487e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.92608005259487e-06×40589641000000     		ar = 2623.74532778682m²