Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 5418 / 3134
↖ ↑ ↗
← N 80.987131°
W120.476074°		 ← 191.37 m → N 80.987131°
W120.465088°		 →
↑
191.38 m
↓
↑
191.38 m
↓
N 80.985410°
W120.476074°		 ← 191.40 m →
36 628 m²		 N 80.985410°
W120.465088°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5418 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3134 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.165359497070312 y=0.0956573486328125 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.165359497070312 × 215)
    floor (0.165359497070312 × 32768)
    floor (5418.5)     		tx = 5418
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0956573486328125 × 215)
    floor (0.0956573486328125 × 32768)
    floor (3134.5)     		ty = 3134
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 5418 / 3134 ti = "15/5418/3134"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/5418/3134.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5418 ÷ 215
    5418 ÷ 32768     		x = 0.16534423828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3134 ÷ 215
    3134 ÷ 32768     		y = 0.09564208984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.16534423828125 × 2 - 1) × π
    -0.6693115234375 × 3.1415926535     		Λ = -2.10270416
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.09564208984375 × 2 - 1) × π
    0.8087158203125 × 3.1415926535     		Φ = 2.54065567986298
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.10270416} λ = -2.10270416}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.54065567986298))-π/2
    2×atan(12.6879875019517)-π/2
    2×1.49214420824449-π/2
    2.98428841648898-1.57079632675     		φ = 1.41349209
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.10270416} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -120.476074°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41349209 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.987131°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5418 KachelY 3134 -2.10270416 1.41349209 -120.476074 80.987131
    Oben rechts KachelX + 1 5419 KachelY 3134 -2.10251242 1.41349209 -120.465088 80.987131
    Unten links KachelX 5418 KachelY + 1 3135 -2.10270416 1.41346205 -120.476074 80.985410
    Unten rechts KachelX + 1 5419 KachelY + 1 3135 -2.10251242 1.41346205 -120.465088 80.985410
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41349209-1.41346205) × R
    3.00400000001755e-05 × 6371000     		dl = 191.384840001118m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41349209-1.41346205) × R
    3.00400000001755e-05 × 6371000     		dr = 191.384840001118m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.10270416--2.10251242) × cos(1.41349209) × R
    0.000191739999999996 × 0.156656299958577 × 6371000     		do = 191.367504216297m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.10270416--2.10251242) × cos(1.41346205) × R
    0.000191739999999996 × 0.156685968989413 × 6371000     		du = 191.403747178661m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41349209)-sin(1.41346205))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.156656299958577-0.156685968989413)×R²
    abs(-2.10251242--2.10270416)×2.96690308351777e-05×R²
    0.000191739999999996×2.96690308351777e-05×6371000²
    0.000191739999999996×2.96690308351777e-05×40589641000000     		ar = 36628.3073556652m²