Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54179 / 14771
↖ ↑ ↗
← N 79.972808°
W 31.192932°		 ← 53.18 m → N 79.972808°
W 31.190185°		 →
↑
53.20 m
↓
↑
53.20 m
↓
N 79.972330°
W 31.192932°		 ← 53.18 m →
2 829 m²		 N 79.972330°
W 31.190185°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54179 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14771 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.413356781005859 y=0.112697601318359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.413356781005859 × 217)
    floor (0.413356781005859 × 131072)
    floor (54179.5)     		tx = 54179
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.112697601318359 × 217)
    floor (0.112697601318359 × 131072)
    floor (14771.5)     		ty = 14771
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54179 / 14771 ti = "17/54179/14771"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54179/14771.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54179 ÷ 217
    54179 ÷ 131072     		x = 0.413352966308594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14771 ÷ 217
    14771 ÷ 131072     		y = 0.112693786621094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.413352966308594 × 2 - 1) × π
    -0.173294067382812 × 3.1415926535     		Λ = -0.54441937
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.112693786621094 × 2 - 1) × π
    0.774612426757812 × 3.1415926535     		Φ = 2.43351670921215
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.54441937} λ = -0.54441937}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.43351670921215))-π/2
    2×atan(11.3988982866924)-π/2
    2×1.48329257259165-π/2
    2.9665851451833-1.57079632675     		φ = 1.39578882
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.54441937} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.192932°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39578882 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.972808°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54179 KachelY 14771 -0.54441937 1.39578882 -31.192932 79.972808
    Oben rechts KachelX + 1 54180 KachelY 14771 -0.54437143 1.39578882 -31.190185 79.972808
    Unten links KachelX 54179 KachelY + 1 14772 -0.54441937 1.39578047 -31.192932 79.972330
    Unten rechts KachelX + 1 54180 KachelY + 1 14772 -0.54437143 1.39578047 -31.190185 79.972330
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39578882-1.39578047) × R
    8.34999999987929e-06 × 6371000     		dl = 53.1978499992309m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39578882-1.39578047) × R
    8.34999999987929e-06 × 6371000     		dr = 53.1978499992309m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.54441937--0.54437143) × cos(1.39578882) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.174115529728847 × 6371000     		do = 53.1793645128903m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.54441937--0.54437143) × cos(1.39578047) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.174123752178463 × 6371000     		du = 53.1818758606489m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39578882)-sin(1.39578047))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.174115529728847-0.174123752178463)×R²
    abs(-0.54437143--0.54441937)×8.22244961612428e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.22244961612428e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.22244961612428e-06×40589641000000     		ar = 2829.09465561354m²