Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 54172 / 50044
↖ ↑ ↗
← S 68.391089°
E117.575684°		 ← 224.93 m → S 68.391089°
E117.581177°		 →
↑
224.96 m
↓
↑
224.96 m
↓
S 68.393113°
E117.575684°		 ← 224.91 m →
50 599 m²		 S 68.393113°
E117.581177°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54172 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50044 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.826606750488281 y=0.763618469238281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.826606750488281 × 216)
    floor (0.826606750488281 × 65536)
    floor (54172.5)     		tx = 54172
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.763618469238281 × 216)
    floor (0.763618469238281 × 65536)
    floor (50044.5)     		ty = 50044
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 54172 / 50044 ti = "16/54172/50044"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/54172/50044.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54172 ÷ 216
    54172 ÷ 65536     		x = 0.82659912109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50044 ÷ 216
    50044 ÷ 65536     		y = 0.76361083984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.82659912109375 × 2 - 1) × π
    0.6531982421875 × 3.1415926535     		Λ = 2.05208280
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.76361083984375 × 2 - 1) × π
    -0.5272216796875 × 3.1415926535     		Φ = -1.65631575567218
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.05208280} λ = 2.05208280}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.65631575567218))-π/2
    2×atan(0.190840790587263)-π/2
    2×0.188573316831304-π/2
    0.377146633662608-1.57079632675     		φ = -1.19364969
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.05208280} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.575684°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19364969 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.391089°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54172 KachelY 50044 2.05208280 -1.19364969 117.575684 -68.391089
    Oben rechts KachelX + 1 54173 KachelY 50044 2.05217867 -1.19364969 117.581177 -68.391089
    Unten links KachelX 54172 KachelY + 1 50045 2.05208280 -1.19368500 117.575684 -68.393113
    Unten rechts KachelX + 1 54173 KachelY + 1 50045 2.05217867 -1.19368500 117.581177 -68.393113
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19364969--1.19368500) × R
    3.53100000001216e-05 × 6371000     		dl = 224.960010000775m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19364969--1.19368500) × R
    3.53100000001216e-05 × 6371000     		dr = 224.960010000775m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.05208280-2.05217867) × cos(-1.19364969) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.368269145550456 × 6371000     		do = 224.934290170563m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.05208280-2.05217867) × cos(-1.19368500) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.368236316935067 × 6371000     		du = 224.914238853778m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19364969)-sin(-1.19368500))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.368269145550456-0.368236316935067)×R²
    abs(2.05217867-2.05208280)×3.28286153892243e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.28286153892243e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.28286153892243e-05×40589641000000     		ar = 50598.9647993438m²