Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 54172 / 49929
↖ ↑ ↗
← S 68.157253°
E117.575684°		 ← 227.25 m → S 68.157253°
E117.581177°		 →
↑
227.25 m
↓
↑
227.25 m
↓
S 68.159297°
E117.575684°		 ← 227.23 m →
51 641 m²		 S 68.159297°
E117.581177°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54172 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49929 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.826606750488281 y=0.761863708496094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.826606750488281 × 216)
    floor (0.826606750488281 × 65536)
    floor (54172.5)     		tx = 54172
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.761863708496094 × 216)
    floor (0.761863708496094 × 65536)
    floor (49929.5)     		ty = 49929
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 54172 / 49929 ti = "16/54172/49929"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/54172/49929.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54172 ÷ 216
    54172 ÷ 65536     		x = 0.82659912109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49929 ÷ 216
    49929 ÷ 65536     		y = 0.761856079101562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.82659912109375 × 2 - 1) × π
    0.6531982421875 × 3.1415926535     		Λ = 2.05208280
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.761856079101562 × 2 - 1) × π
    -0.523712158203125 × 3.1415926535     		Φ = -1.64529026875957
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.05208280} λ = 2.05208280}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.64529026875957))-π/2
    2×atan(0.192956545407021)-π/2
    2×0.190613925386378-π/2
    0.381227850772757-1.57079632675     		φ = -1.18956848
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.05208280} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.575684°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18956848 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.157253°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54172 KachelY 49929 2.05208280 -1.18956848 117.575684 -68.157253
    Oben rechts KachelX + 1 54173 KachelY 49929 2.05217867 -1.18956848 117.581177 -68.157253
    Unten links KachelX 54172 KachelY + 1 49930 2.05208280 -1.18960415 117.575684 -68.159297
    Unten rechts KachelX + 1 54173 KachelY + 1 49930 2.05217867 -1.18960415 117.581177 -68.159297
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18956848--1.18960415) × R
    3.56700000001542e-05 × 6371000     		dl = 227.253570000982m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18956848--1.18960415) × R
    3.56700000001542e-05 × 6371000     		dr = 227.253570000982m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.05208280-2.05217867) × cos(-1.18956848) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.372060447421547 × 6371000     		do = 227.249970985804m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.05208280-2.05217867) × cos(-1.18960415) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.372027337987586 × 6371000     		du = 227.229748148469m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18956848)-sin(-1.18960415))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.372060447421547-0.372027337987586)×R²
    abs(2.05217867-2.05208280)×3.31094339601767e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.31094339601767e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.31094339601767e-05×40589641000000     		ar = 51641.0693383482m²