Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54172 / 13516
↖ ↑ ↗
← N 80.555536°
W 31.212158°		 ← 50.12 m → N 80.555536°
W 31.209412°		 →
↑
50.08 m
↓
↑
50.08 m
↓
N 80.555085°
W 31.212158°		 ← 50.12 m →
2 510 m²		 N 80.555085°
W 31.209412°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54172 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13516 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.413303375244141 y=0.103122711181641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.413303375244141 × 217)
    floor (0.413303375244141 × 131072)
    floor (54172.5)     		tx = 54172
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.103122711181641 × 217)
    floor (0.103122711181641 × 131072)
    floor (13516.5)     		ty = 13516
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54172 / 13516 ti = "17/54172/13516"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54172/13516.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54172 ÷ 217
    54172 ÷ 131072     		x = 0.413299560546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13516 ÷ 217
    13516 ÷ 131072     		y = 0.103118896484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.413299560546875 × 2 - 1) × π
    -0.17340087890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.54475493
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.103118896484375 × 2 - 1) × π
    0.79376220703125 × 3.1415926535     		Φ = 2.49367751823532
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.54475493} λ = -0.54475493}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.49367751823532))-π/2
    2×atan(12.105713342585)-π/2
    2×1.48837782933481-π/2
    2.97675565866963-1.57079632675     		φ = 1.40595933
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.54475493} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.212158°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40595933 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.555536°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54172 KachelY 13516 -0.54475493 1.40595933 -31.212158 80.555536
    Oben rechts KachelX + 1 54173 KachelY 13516 -0.54470699 1.40595933 -31.209412 80.555536
    Unten links KachelX 54172 KachelY + 1 13517 -0.54475493 1.40595147 -31.212158 80.555085
    Unten rechts KachelX + 1 54173 KachelY + 1 13517 -0.54470699 1.40595147 -31.209412 80.555085
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40595933-1.40595147) × R
    7.85999999997067e-06 × 6371000     		dl = 50.0760599998131m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40595933-1.40595147) × R
    7.85999999997067e-06 × 6371000     		dr = 50.0760599998131m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.54475493--0.54470699) × cos(1.40595933) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.164091539455603 × 6371000     		do = 50.1177798659338m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.54475493--0.54470699) × cos(1.40595147) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.164099292909145 × 6371000     		du = 50.1201479702195m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40595933)-sin(1.40595147))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.164091539455603-0.164099292909145)×R²
    abs(-0.54470699--0.54475493)×7.753453542092e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.753453542092e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.753453542092e-06×40589641000000     		ar = 2509.76024423331m²