Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 54170 / 50767
↖ ↑ ↗
← S 69.807412°
E117.564697°		 ← 210.85 m → S 69.807412°
E117.570191°		 →
↑
210.88 m
↓
↑
210.88 m
↓
S 69.809309°
E117.564697°		 ← 210.83 m →
44 462 m²		 S 69.809309°
E117.570191°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54170 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50767 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.826576232910156 y=0.774650573730469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.826576232910156 × 216)
    floor (0.826576232910156 × 65536)
    floor (54170.5)     		tx = 54170
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.774650573730469 × 216)
    floor (0.774650573730469 × 65536)
    floor (50767.5)     		ty = 50767
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 54170 / 50767 ti = "16/54170/50767"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/54170/50767.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54170 ÷ 216
    54170 ÷ 65536     		x = 0.826568603515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50767 ÷ 216
    50767 ÷ 65536     		y = 0.774642944335938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.826568603515625 × 2 - 1) × π
    0.65313720703125 × 3.1415926535     		Λ = 2.05189105
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.774642944335938 × 2 - 1) × π
    -0.549285888671875 × 3.1415926535     		Φ = -1.72563251252278
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.05189105} λ = 2.05189105}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.72563251252278))-π/2
    2×atan(0.178060390719949)-π/2
    2×0.176213566727117-π/2
    0.352427133454233-1.57079632675     		φ = -1.21836919
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.05189105} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.564697°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21836919 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.807412°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54170 KachelY 50767 2.05189105 -1.21836919 117.564697 -69.807412
    Oben rechts KachelX + 1 54171 KachelY 50767 2.05198693 -1.21836919 117.570191 -69.807412
    Unten links KachelX 54170 KachelY + 1 50768 2.05189105 -1.21840229 117.564697 -69.809309
    Unten rechts KachelX + 1 54171 KachelY + 1 50768 2.05198693 -1.21840229 117.570191 -69.809309
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21836919--1.21840229) × R
    3.31000000000081e-05 × 6371000     		dl = 210.880100000052m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21836919--1.21840229) × R
    3.31000000000081e-05 × 6371000     		dr = 210.880100000052m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.05189105-2.05198693) × cos(-1.21836919) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.345176781288563 × 6371000     		do = 210.851747711616m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.05189105-2.05198693) × cos(-1.21840229) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.345145715502044 × 6371000     		du = 210.832771129944m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21836919)-sin(-1.21840229))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.345176781288563-0.345145715502044)×R²
    abs(2.05198693-2.05189105)×3.10657865190134e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.10657865190134e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.10657865190134e-05×40589641000000     		ar = 44462.4367551077m²