Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 54170 / 13507
↖ ↑ ↗
← N 80.559591°
W 31.217651°		 ← 50.10 m → N 80.559591°
W 31.214905°		 →
↑
50.08 m
↓
↑
50.08 m
↓
N 80.559141°
W 31.217651°		 ← 50.10 m →
2 509 m²		 N 80.559141°
W 31.214905°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54170 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13507 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.413288116455078 y=0.103054046630859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.413288116455078 × 217)
    floor (0.413288116455078 × 131072)
    floor (54170.5)     		tx = 54170
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.103054046630859 × 217)
    floor (0.103054046630859 × 131072)
    floor (13507.5)     		ty = 13507
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54170 / 13507 ti = "17/54170/13507"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54170/13507.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54170 ÷ 217
    54170 ÷ 131072     		x = 0.413284301757812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13507 ÷ 217
    13507 ÷ 131072     		y = 0.103050231933594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.413284301757812 × 2 - 1) × π
    -0.173431396484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.54485080
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.103050231933594 × 2 - 1) × π
    0.793899536132812 × 3.1415926535     		Φ = 2.4941089503319
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.54485080} λ = -0.54485080}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.4941089503319))-π/2
    2×atan(12.1109372626754)-π/2
    2×1.48841321898167-π/2
    2.97682643796333-1.57079632675     		φ = 1.40603011
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.54485080} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.217651°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40603011 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.559591°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54170 KachelY 13507 -0.54485080 1.40603011 -31.217651 80.559591
    Oben rechts KachelX + 1 54171 KachelY 13507 -0.54480286 1.40603011 -31.214905 80.559591
    Unten links KachelX 54170 KachelY + 1 13508 -0.54485080 1.40602225 -31.217651 80.559141
    Unten rechts KachelX + 1 54171 KachelY + 1 13508 -0.54480286 1.40602225 -31.214905 80.559141
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40603011-1.40602225) × R
    7.86000000019271e-06 × 6371000     		dl = 50.0760600012278m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40603011-1.40602225) × R
    7.86000000019271e-06 × 6371000     		dr = 50.0760600012278m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.54485080--0.54480286) × cos(1.40603011) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.164021718459324 × 6371000     		do = 50.0964547364779m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.54485080--0.54480286) × cos(1.40602225) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.164029472004138 × 6371000     		du = 50.0988228686404m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40603011)-sin(1.40602225))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.164021718459324-0.164029472004138)×R²
    abs(-0.54480286--0.54485080)×7.75354481422075e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.75354481422075e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.75354481422075e-06×40589641000000     		ar = 2508.69236667367m²