Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 54169 / 49939
↖ ↑ ↗
← S 68.177682°
E117.559204°		 ← 227.05 m → S 68.177682°
E117.564697°		 →
↑
227 m
↓
↑
227 m
↓
S 68.179724°
E117.559204°		 ← 227.03 m →
51 537 m²		 S 68.179724°
E117.564697°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54169 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49939 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.826560974121094 y=0.762016296386719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.826560974121094 × 216)
    floor (0.826560974121094 × 65536)
    floor (54169.5)     		tx = 54169
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.762016296386719 × 216)
    floor (0.762016296386719 × 65536)
    floor (49939.5)     		ty = 49939
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 54169 / 49939 ti = "16/54169/49939"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/54169/49939.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54169 ÷ 216
    54169 ÷ 65536     		x = 0.826553344726562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49939 ÷ 216
    49939 ÷ 65536     		y = 0.762008666992188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.826553344726562 × 2 - 1) × π
    0.653106689453125 × 3.1415926535     		Λ = 2.05179518
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.762008666992188 × 2 - 1) × π
    -0.524017333984375 × 3.1415926535     		Φ = -1.64624900675197
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.05179518} λ = 2.05179518}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.64624900675197))-π/2
    2×atan(0.19277163928848)-π/2
    2×0.190435650481146-π/2
    0.380871300962293-1.57079632675     		φ = -1.18992503
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.05179518} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.559204°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18992503 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.177682°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54169 KachelY 49939 2.05179518 -1.18992503 117.559204 -68.177682
    Oben rechts KachelX + 1 54170 KachelY 49939 2.05189105 -1.18992503 117.564697 -68.177682
    Unten links KachelX 54169 KachelY + 1 49940 2.05179518 -1.18996066 117.559204 -68.179724
    Unten rechts KachelX + 1 54170 KachelY + 1 49940 2.05189105 -1.18996066 117.564697 -68.179724
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18992503--1.18996066) × R
    3.56299999999532e-05 × 6371000     		dl = 226.998729999702m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18992503--1.18996066) × R
    3.56299999999532e-05 × 6371000     		dr = 226.998729999702m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.05179518-2.05189105) × cos(-1.18992503) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.371729471037485 × 6371000     		do = 227.04781465826m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.05179518-2.05189105) × cos(-1.18996066) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.371696394008098 × 6371000     		du = 227.027611613243m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18992503)-sin(-1.18996066))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.371729471037485-0.371696394008098)×R²
    abs(2.05189105-2.05179518)×3.30770293869853e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.30770293869853e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.30770293869853e-05×40589641000000     		ar = 51537.2725492628m²