Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 54169 / 21289
↖ ↑ ↗
← N 53.196161°
E117.559204°		 ← 365.91 m → N 53.196161°
E117.564697°		 →
↑
365.95 m
↓
↑
365.95 m
↓
N 53.192870°
E117.559204°		 ← 365.94 m →
133 910 m²		 N 53.192870°
E117.564697°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54169 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21289 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.826560974121094 y=0.324851989746094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.826560974121094 × 216)
    floor (0.826560974121094 × 65536)
    floor (54169.5)     		tx = 54169
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.324851989746094 × 216)
    floor (0.324851989746094 × 65536)
    floor (21289.5)     		ty = 21289
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 54169 / 21289 ti = "16/54169/21289"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/54169/21289.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54169 ÷ 216
    54169 ÷ 65536     		x = 0.826553344726562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21289 ÷ 216
    21289 ÷ 65536     		y = 0.324844360351562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.826553344726562 × 2 - 1) × π
    0.653106689453125 × 3.1415926535     		Λ = 2.05179518
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.324844360351562 × 2 - 1) × π
    0.350311279296875 × 3.1415926535     		Φ = 1.10053534147725
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.05179518} λ = 2.05179518}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.10053534147725))-π/2
    2×atan(3.00577470918314)-π/2
    2×1.24962224456487-π/2
    2.49924448912973-1.57079632675     		φ = 0.92844816
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.05179518} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.559204°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92844816 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.196161°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54169 KachelY 21289 2.05179518 0.92844816 117.559204 53.196161
    Oben rechts KachelX + 1 54170 KachelY 21289 2.05189105 0.92844816 117.564697 53.196161
    Unten links KachelX 54169 KachelY + 1 21290 2.05179518 0.92839072 117.559204 53.192870
    Unten rechts KachelX + 1 54170 KachelY + 1 21290 2.05189105 0.92839072 117.564697 53.192870
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92844816-0.92839072) × R
    5.74399999999642e-05 × 6371000     		dl = 365.950239999772m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92844816-0.92839072) × R
    5.74399999999642e-05 × 6371000     		dr = 365.950239999772m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.05179518-2.05189105) × cos(0.92844816) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.599077247823102 × 6371000     		do = 365.909056255602m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.05179518-2.05189105) × cos(0.92839072) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.599123238539236 × 6371000     		du = 365.93714682255m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92844816)-sin(0.92839072))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.599077247823102-0.599123238539236)×R²
    abs(2.05189105-2.05179518)×4.59907161336481e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.59907161336481e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.59907161336481e-05×40589641000000     		ar = 133909.646866397m²