Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54169 / 15250
↖ ↑ ↗
← N 79.741131°
W 31.220398°		 ← 54.40 m → N 79.741131°
W 31.217651°		 →
↑
54.41 m
↓
↑
54.41 m
↓
N 79.740642°
W 31.220398°		 ← 54.40 m →
2 960 m²		 N 79.740642°
W 31.217651°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54169 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15250 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.413280487060547 y=0.116352081298828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.413280487060547 × 217)
    floor (0.413280487060547 × 131072)
    floor (54169.5)     		tx = 54169
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.116352081298828 × 217)
    floor (0.116352081298828 × 131072)
    floor (15250.5)     		ty = 15250
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54169 / 15250 ti = "17/54169/15250"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54169/15250.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54169 ÷ 217
    54169 ÷ 131072     		x = 0.413276672363281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15250 ÷ 217
    15250 ÷ 131072     		y = 0.116348266601562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.413276672363281 × 2 - 1) × π
    -0.173446655273438 × 3.1415926535     		Λ = -0.54489874
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.116348266601562 × 2 - 1) × π
    0.767303466796875 × 3.1415926535     		Φ = 2.41055493429414
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.54489874} λ = -0.54489874}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.41055493429414))-π/2
    2×atan(11.1401414766147)-π/2
    2×1.4812708062054-π/2
    2.96254161241081-1.57079632675     		φ = 1.39174529
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.54489874} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.220398°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39174529 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.741131°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54169 KachelY 15250 -0.54489874 1.39174529 -31.220398 79.741131
    Oben rechts KachelX + 1 54170 KachelY 15250 -0.54485080 1.39174529 -31.217651 79.741131
    Unten links KachelX 54169 KachelY + 1 15251 -0.54489874 1.39173675 -31.220398 79.740642
    Unten rechts KachelX + 1 54170 KachelY + 1 15251 -0.54485080 1.39173675 -31.217651 79.740642
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39174529-1.39173675) × R
    8.54000000005684e-06 × 6371000     		dl = 54.4083400003621m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39174529-1.39173675) × R
    8.54000000005684e-06 × 6371000     		dr = 54.4083400003621m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.54489874--0.54485080) × cos(1.39174529) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.178095861491073 × 6371000     		do = 54.3950602869389m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.54489874--0.54485080) × cos(1.39173675) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.178104264956814 × 6371000     		du = 54.3976269216812m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39174529)-sin(1.39173675))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.178095861491073-0.178104264956814)×R²
    abs(-0.54485080--0.54489874)×8.40346574035311e-06×R²
    4.79400000000796e-05×8.40346574035311e-06×6371000²
    4.79400000000796e-05×8.40346574035311e-06×40589641000000     		ar = 2959.61475767522m²