Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 54168 / 49938
↖ ↑ ↗
← S 68.175640°
E117.553711°		 ← 227.09 m → S 68.175640°
E117.559204°		 →
↑
227.06 m
↓
↑
227.06 m
↓
S 68.177682°
E117.553711°		 ← 227.07 m →
51 562 m²		 S 68.177682°
E117.559204°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54168 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49938 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.826545715332031 y=0.762001037597656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.826545715332031 × 216)
    floor (0.826545715332031 × 65536)
    floor (54168.5)     		tx = 54168
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.762001037597656 × 216)
    floor (0.762001037597656 × 65536)
    floor (49938.5)     		ty = 49938
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 54168 / 49938 ti = "16/54168/49938"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/54168/49938.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54168 ÷ 216
    54168 ÷ 65536     		x = 0.8265380859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49938 ÷ 216
    49938 ÷ 65536     		y = 0.761993408203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8265380859375 × 2 - 1) × π
    0.653076171875 × 3.1415926535     		Λ = 2.05169930
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.761993408203125 × 2 - 1) × π
    -0.52398681640625 × 3.1415926535     		Φ = -1.64615313295273
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.05169930} λ = 2.05169930}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.64615313295273))-π/2
    2×atan(0.192790121923911)-π/2
    2×0.190453470832693-π/2
    0.380906941665386-1.57079632675     		φ = -1.18988939
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.05169930} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.553711°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18988939 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.175640°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54168 KachelY 49938 2.05169930 -1.18988939 117.553711 -68.175640
    Oben rechts KachelX + 1 54169 KachelY 49938 2.05179518 -1.18988939 117.559204 -68.175640
    Unten links KachelX 54168 KachelY + 1 49939 2.05169930 -1.18992503 117.553711 -68.177682
    Unten rechts KachelX + 1 54169 KachelY + 1 49939 2.05179518 -1.18992503 117.559204 -68.177682
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18988939--1.18992503) × R
    3.56399999998924e-05 × 6371000     		dl = 227.062439999315m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18988939--1.18992503) × R
    3.56399999998924e-05 × 6371000     		dr = 227.062439999315m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.05169930-2.05179518) × cos(-1.18988939) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.371762556878241 × 6371000     		do = 227.091708077509m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.05169930-2.05179518) × cos(-1.18992503) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.371729471037485 × 6371000     		du = 227.071497542716m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18988939)-sin(-1.18992503))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.371762556878241-0.371729471037485)×R²
    abs(2.05179518-2.05169930)×3.30858407560086e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.30858407560086e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.30858407560086e-05×40589641000000     		ar = 51561.7028186552m²