Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 54168 / 14713
↖ ↑ ↗
← N 80.000508°
W 31.223144°		 ← 53.02 m → N 80.000508°
W 31.220398°		 →
↑
53.07 m
↓
↑
53.07 m
↓
N 80.000030°
W 31.223144°		 ← 53.03 m →
2 814 m²		 N 80.000030°
W 31.220398°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54168 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14713 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.413272857666016 y=0.112255096435547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.413272857666016 × 217)
    floor (0.413272857666016 × 131072)
    floor (54168.5)     		tx = 54168
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.112255096435547 × 217)
    floor (0.112255096435547 × 131072)
    floor (14713.5)     		ty = 14713
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54168 / 14713 ti = "17/54168/14713"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54168/14713.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54168 ÷ 217
    54168 ÷ 131072     		x = 0.41326904296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14713 ÷ 217
    14713 ÷ 131072     		y = 0.112251281738281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.41326904296875 × 2 - 1) × π
    -0.1734619140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.54494667
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.112251281738281 × 2 - 1) × π
    0.775497436523438 × 3.1415926535     		Φ = 2.43629704939011
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.54494667} λ = -0.54494667}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.43629704939011))-π/2
    2×atan(11.4306352008476)-π/2
    2×1.48353429173695-π/2
    2.9670685834739-1.57079632675     		φ = 1.39627226
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.54494667} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.223144°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39627226 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.000508°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54168 KachelY 14713 -0.54494667 1.39627226 -31.223144 80.000508
    Oben rechts KachelX + 1 54169 KachelY 14713 -0.54489874 1.39627226 -31.220398 80.000508
    Unten links KachelX 54168 KachelY + 1 14714 -0.54494667 1.39626393 -31.223144 80.000030
    Unten rechts KachelX + 1 54169 KachelY + 1 14714 -0.54489874 1.39626393 -31.220398 80.000030
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39627226-1.39626393) × R
    8.33000000000084e-06 × 6371000     		dl = 53.0704300000053m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39627226-1.39626393) × R
    8.33000000000084e-06 × 6371000     		dr = 53.0704300000053m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.54494667--0.54489874) × cos(1.39627226) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.173639453834651 × 6371000     		do = 53.0228961109498m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.54494667--0.54489874) × cos(1.39626393) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.173647657290022 × 6371000     		du = 53.0254011347351m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39627226)-sin(1.39626393))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.173639453834651-0.173647657290022)×R²
    abs(-0.54489874--0.54494667)×8.20345537144718e-06×R²
    4.79299999999183e-05×8.20345537144718e-06×6371000²
    4.79299999999183e-05×8.20345537144718e-06×40589641000000     		ar = 2814.01436792424m²