Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 54167 / 50041
↖ ↑ ↗
← S 68.385020°
E117.548218°		 ← 224.99 m → S 68.385020°
E117.553711°		 →
↑
224.96 m
↓
↑
224.96 m
↓
S 68.387043°
E117.548218°		 ← 224.97 m →
50 612 m²		 S 68.387043°
E117.553711°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54167 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50041 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.826530456542969 y=0.763572692871094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.826530456542969 × 216)
    floor (0.826530456542969 × 65536)
    floor (54167.5)     		tx = 54167
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.763572692871094 × 216)
    floor (0.763572692871094 × 65536)
    floor (50041.5)     		ty = 50041
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 54167 / 50041 ti = "16/54167/50041"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/54167/50041.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54167 ÷ 216
    54167 ÷ 65536     		x = 0.826522827148438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50041 ÷ 216
    50041 ÷ 65536     		y = 0.763565063476562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.826522827148438 × 2 - 1) × π
    0.653045654296875 × 3.1415926535     		Λ = 2.05160343
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.763565063476562 × 2 - 1) × π
    -0.527130126953125 × 3.1415926535     		Φ = -1.65602813427446
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.05160343} λ = 2.05160343}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.65602813427446))-π/2
    2×atan(0.190895688376705)-π/2
    2×0.188626284955688-π/2
    0.377252569911376-1.57079632675     		φ = -1.19354376
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.05160343} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.548218°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19354376 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.385020°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54167 KachelY 50041 2.05160343 -1.19354376 117.548218 -68.385020
    Oben rechts KachelX + 1 54168 KachelY 50041 2.05169930 -1.19354376 117.553711 -68.385020
    Unten links KachelX 54167 KachelY + 1 50042 2.05160343 -1.19357907 117.548218 -68.387043
    Unten rechts KachelX + 1 54168 KachelY + 1 50042 2.05169930 -1.19357907 117.553711 -68.387043
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19354376--1.19357907) × R
    3.53099999998996e-05 × 6371000     		dl = 224.96000999936m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19354376--1.19357907) × R
    3.53099999998996e-05 × 6371000     		dr = 224.96000999936m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.05160343-2.05169930) × cos(-1.19354376) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.36836762864152 × 6371000     		do = 224.994442438137m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.05160343-2.05169930) × cos(-1.19357907) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.368334801403724 × 6371000     		du = 224.974391962768m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19354376)-sin(-1.19357907))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.36836762864152-0.368334801403724)×R²
    abs(2.05169930-2.05160343)×3.28272377966288e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.28272377966288e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.28272377966288e-05×40589641000000     		ar = 50612.4967484686m²