Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 54167 / 21358
↖ ↑ ↗
← N 52.968492°
E117.548218°		 ← 367.85 m → N 52.968492°
E117.553711°		 →
↑
367.93 m
↓
↑
367.93 m
↓
N 52.965183°
E117.548218°		 ← 367.88 m →
135 346 m²		 N 52.965183°
E117.553711°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54167 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21358 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.826530456542969 y=0.325904846191406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.826530456542969 × 216)
    floor (0.826530456542969 × 65536)
    floor (54167.5)     		tx = 54167
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.325904846191406 × 216)
    floor (0.325904846191406 × 65536)
    floor (21358.5)     		ty = 21358
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 54167 / 21358 ti = "16/54167/21358"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/54167/21358.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54167 ÷ 216
    54167 ÷ 65536     		x = 0.826522827148438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21358 ÷ 216
    21358 ÷ 65536     		y = 0.325897216796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.826522827148438 × 2 - 1) × π
    0.653045654296875 × 3.1415926535     		Λ = 2.05160343
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.325897216796875 × 2 - 1) × π
    0.34820556640625 × 3.1415926535     		Φ = 1.09392004932968
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.05160343} λ = 2.05160343}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.09392004932968))-π/2
    2×atan(2.98595625605549)-π/2
    2×1.24763545710283-π/2
    2.49527091420566-1.57079632675     		φ = 0.92447459
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.05160343} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.548218°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92447459 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.968492°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54167 KachelY 21358 2.05160343 0.92447459 117.548218 52.968492
    Oben rechts KachelX + 1 54168 KachelY 21358 2.05169930 0.92447459 117.553711 52.968492
    Unten links KachelX 54167 KachelY + 1 21359 2.05160343 0.92441684 117.548218 52.965183
    Unten rechts KachelX + 1 54168 KachelY + 1 21359 2.05169930 0.92441684 117.553711 52.965183
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92447459-0.92441684) × R
    5.77499999999675e-05 × 6371000     		dl = 367.925249999793m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92447459-0.92441684) × R
    5.77499999999675e-05 × 6371000     		dr = 367.925249999793m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.05160343-2.05169930) × cos(0.92447459) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.602254112628076 × 6371000     		do = 367.849446425423m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.05160343-2.05169930) × cos(0.92441684) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.60230021370536 × 6371000     		du = 367.877604399612m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92447459)-sin(0.92441684))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.602254112628076-0.60230021370536)×R²
    abs(2.05169930-2.05160343)×4.61010772840886e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.61010772840886e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.61010772840886e-05×40589641000000     		ar = 135346.279590818m²