Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 54166 / 50042
↖ ↑ ↗
← S 68.387043°
E117.542725°		 ← 224.97 m → S 68.387043°
E117.548218°		 →
↑
224.96 m
↓
↑
224.96 m
↓
S 68.389066°
E117.542725°		 ← 224.95 m →
50 608 m²		 S 68.389066°
E117.548218°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54166 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50042 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.826515197753906 y=0.763587951660156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.826515197753906 × 216)
    floor (0.826515197753906 × 65536)
    floor (54166.5)     		tx = 54166
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.763587951660156 × 216)
    floor (0.763587951660156 × 65536)
    floor (50042.5)     		ty = 50042
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 54166 / 50042 ti = "16/54166/50042"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/54166/50042.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54166 ÷ 216
    54166 ÷ 65536     		x = 0.826507568359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50042 ÷ 216
    50042 ÷ 65536     		y = 0.763580322265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.826507568359375 × 2 - 1) × π
    0.65301513671875 × 3.1415926535     		Λ = 2.05150756
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.763580322265625 × 2 - 1) × π
    -0.52716064453125 × 3.1415926535     		Φ = -1.6561240080737
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.05150756} λ = 2.05150756}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.6561240080737))-π/2
    2×atan(0.19087738735911)-π/2
    2×0.188608627340456-π/2
    0.377217254680912-1.57079632675     		φ = -1.19357907
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.05150756} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.542725°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19357907 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.387043°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54166 KachelY 50042 2.05150756 -1.19357907 117.542725 -68.387043
    Oben rechts KachelX + 1 54167 KachelY 50042 2.05160343 -1.19357907 117.548218 -68.387043
    Unten links KachelX 54166 KachelY + 1 50043 2.05150756 -1.19361438 117.542725 -68.389066
    Unten rechts KachelX + 1 54167 KachelY + 1 50043 2.05160343 -1.19361438 117.548218 -68.389066
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19357907--1.19361438) × R
    3.53100000001216e-05 × 6371000     		dl = 224.960010000775m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19357907--1.19361438) × R
    3.53100000001216e-05 × 6371000     		dr = 224.960010000775m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.05150756-2.05160343) × cos(-1.19357907) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.368334801403724 × 6371000     		do = 224.974391962768m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.05150756-2.05160343) × cos(-1.19361438) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.368301973706688 × 6371000     		du = 224.954341206902m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19357907)-sin(-1.19361438))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.368334801403724-0.368301973706688)×R²
    abs(2.05160343-2.05150756)×3.28276970352204e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.28276970352204e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.28276970352204e-05×40589641000000     		ar = 50607.9861621239m²