Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 54166 / 21361
↖ ↑ ↗
← N 52.958566°
E117.542725°		 ← 367.93 m → N 52.958566°
E117.548218°		 →
↑
367.99 m
↓
↑
367.99 m
↓
N 52.955257°
E117.542725°		 ← 367.96 m →
135 401 m²		 N 52.955257°
E117.548218°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54166 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21361 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.826515197753906 y=0.325950622558594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.826515197753906 × 216)
    floor (0.826515197753906 × 65536)
    floor (54166.5)     		tx = 54166
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.325950622558594 × 216)
    floor (0.325950622558594 × 65536)
    floor (21361.5)     		ty = 21361
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 54166 / 21361 ti = "16/54166/21361"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/54166/21361.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54166 ÷ 216
    54166 ÷ 65536     		x = 0.826507568359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21361 ÷ 216
    21361 ÷ 65536     		y = 0.325942993164062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.826507568359375 × 2 - 1) × π
    0.65301513671875 × 3.1415926535     		Λ = 2.05150756
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.325942993164062 × 2 - 1) × π
    0.348114013671875 × 3.1415926535     		Φ = 1.09363242793196
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.05150756} λ = 2.05150756}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.09363242793196))-π/2
    2×atan(2.98509755463996)-π/2
    2×1.24754883657407-π/2
    2.49509767314815-1.57079632675     		φ = 0.92430135
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.05150756} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.542725°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92430135 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.958566°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54166 KachelY 21361 2.05150756 0.92430135 117.542725 52.958566
    Oben rechts KachelX + 1 54167 KachelY 21361 2.05160343 0.92430135 117.548218 52.958566
    Unten links KachelX 54166 KachelY + 1 21362 2.05150756 0.92424359 117.542725 52.955257
    Unten rechts KachelX + 1 54167 KachelY + 1 21362 2.05160343 0.92424359 117.548218 52.955257
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92430135-0.92424359) × R
    5.77600000000178e-05 × 6371000     		dl = 367.988960000113m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92430135-0.92424359) × R
    5.77600000000178e-05 × 6371000     		dr = 367.988960000113m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.05150756-2.05160343) × cos(0.92430135) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.602392401851647 × 6371000     		do = 367.933911791903m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.05150756-2.05160343) × cos(0.92424359) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.602438504884344 × 6371000     		du = 367.962070960434m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92430135)-sin(0.92424359))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.602392401851647-0.602438504884344)×R²
    abs(2.05160343-2.05150756)×4.61030326971423e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.61030326971423e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.61030326971423e-05×40589641000000     		ar = 135400.798718377m²