Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54166 / 14686
↖ ↑ ↗
← N 80.013376°
W 31.228638°		 ← 52.97 m → N 80.013376°
W 31.225891°		 →
↑
52.94 m
↓
↑
52.94 m
↓
N 80.012899°
W 31.228638°		 ← 52.97 m →
2 804 m²		 N 80.012899°
W 31.225891°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54166 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14686 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.413257598876953 y=0.112049102783203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.413257598876953 × 217)
    floor (0.413257598876953 × 131072)
    floor (54166.5)     		tx = 54166
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.112049102783203 × 217)
    floor (0.112049102783203 × 131072)
    floor (14686.5)     		ty = 14686
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54166 / 14686 ti = "17/54166/14686"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54166/14686.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54166 ÷ 217
    54166 ÷ 131072     		x = 0.413253784179688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14686 ÷ 217
    14686 ÷ 131072     		y = 0.112045288085938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.413253784179688 × 2 - 1) × π
    -0.173492431640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.54504255
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.112045288085938 × 2 - 1) × π
    0.775909423828125 × 3.1415926535     		Φ = 2.43759134567986
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.54504255} λ = -0.54504255}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.43759134567986))-π/2
    2×atan(11.445439408026)-π/2
    2×1.48364659060331-π/2
    2.96729318120662-1.57079632675     		φ = 1.39649685
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.54504255} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.228638°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39649685 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.013376°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54166 KachelY 14686 -0.54504255 1.39649685 -31.228638 80.013376
    Oben rechts KachelX + 1 54167 KachelY 14686 -0.54499461 1.39649685 -31.225891 80.013376
    Unten links KachelX 54166 KachelY + 1 14687 -0.54504255 1.39648854 -31.228638 80.012899
    Unten rechts KachelX + 1 54167 KachelY + 1 14687 -0.54499461 1.39648854 -31.225891 80.012899
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39649685-1.39648854) × R
    8.30999999990034e-06 × 6371000     		dl = 52.9430099993651m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39649685-1.39648854) × R
    8.30999999990034e-06 × 6371000     		dr = 52.9430099993651m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.54504255--0.54499461) × cos(1.39649685) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.17341827113855 × 6371000     		do = 52.9664037919776m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.54504255--0.54499461) × cos(1.39648854) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.173426455221636 × 6371000     		du = 52.9689034216104m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39649685)-sin(1.39648854))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.17341827113855-0.173426455221636)×R²
    abs(-0.54499461--0.54504255)×8.18408308642105e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.18408308642105e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.18408308642105e-06×40589641000000     		ar = 2804.26701457012m²