Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 54165 / 50794
↖ ↑ ↗
← S 69.858546°
E117.537231°		 ← 210.34 m → S 69.858546°
E117.542725°		 →
↑
210.31 m
↓
↑
210.31 m
↓
S 69.860437°
E117.537231°		 ← 210.32 m →
44 234 m²		 S 69.860437°
E117.542725°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54165 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50794 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.826499938964844 y=0.775062561035156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.826499938964844 × 216)
    floor (0.826499938964844 × 65536)
    floor (54165.5)     		tx = 54165
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.775062561035156 × 216)
    floor (0.775062561035156 × 65536)
    floor (50794.5)     		ty = 50794
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 54165 / 50794 ti = "16/54165/50794"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/54165/50794.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54165 ÷ 216
    54165 ÷ 65536     		x = 0.826492309570312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50794 ÷ 216
    50794 ÷ 65536     		y = 0.775054931640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.826492309570312 × 2 - 1) × π
    0.652984619140625 × 3.1415926535     		Λ = 2.05141168
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.775054931640625 × 2 - 1) × π
    -0.55010986328125 × 3.1415926535     		Φ = -1.72822110510226
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.05141168} λ = 2.05141168}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.72822110510226))-π/2
    2×atan(0.177600060973963)-π/2
    2×0.175767348024984-π/2
    0.351534696049968-1.57079632675     		φ = -1.21926163
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.05141168} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.537231°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21926163 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.858546°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54165 KachelY 50794 2.05141168 -1.21926163 117.537231 -69.858546
    Oben rechts KachelX + 1 54166 KachelY 50794 2.05150756 -1.21926163 117.542725 -69.858546
    Unten links KachelX 54165 KachelY + 1 50795 2.05141168 -1.21929464 117.537231 -69.860437
    Unten rechts KachelX + 1 54166 KachelY + 1 50795 2.05150756 -1.21929464 117.542725 -69.860437
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21926163--1.21929464) × R
    3.3009999999889e-05 × 6371000     		dl = 210.306709999293m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21926163--1.21929464) × R
    3.3009999999889e-05 × 6371000     		dr = 210.306709999293m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.05141168-2.05150756) × cos(-1.21926163) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.344339055368614 × 6371000     		do = 210.340021593582m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.05141168-2.05150756) × cos(-1.21929464) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.344308063895593 × 6371000     		du = 210.32109040642m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21926163)-sin(-1.21929464))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.344339055368614-0.344308063895593)×R²
    abs(2.05150756-2.05141168)×3.0991473021269e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.0991473021269e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.0991473021269e-05×40589641000000     		ar = 44233.9272485196m²