Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 54165 / 21359
↖ ↑ ↗
← N 52.965183°
E117.537231°		 ← 367.92 m → N 52.965183°
E117.542725°		 →
↑
367.86 m
↓
↑
367.86 m
↓
N 52.961875°
E117.537231°		 ← 367.94 m →
135 347 m²		 N 52.961875°
E117.542725°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54165 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21359 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.826499938964844 y=0.325920104980469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.826499938964844 × 216)
    floor (0.826499938964844 × 65536)
    floor (54165.5)     		tx = 54165
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.325920104980469 × 216)
    floor (0.325920104980469 × 65536)
    floor (21359.5)     		ty = 21359
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 54165 / 21359 ti = "16/54165/21359"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/54165/21359.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54165 ÷ 216
    54165 ÷ 65536     		x = 0.826492309570312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21359 ÷ 216
    21359 ÷ 65536     		y = 0.325912475585938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.826492309570312 × 2 - 1) × π
    0.652984619140625 × 3.1415926535     		Λ = 2.05141168
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.325912475585938 × 2 - 1) × π
    0.348175048828125 × 3.1415926535     		Φ = 1.09382417553044
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.05141168} λ = 2.05141168}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.09382417553044))-π/2
    2×atan(2.98566999480755)-π/2
    2×1.24760658580297-π/2
    2.49521317160593-1.57079632675     		φ = 0.92441684
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.05141168} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.537231°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92441684 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.965183°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54165 KachelY 21359 2.05141168 0.92441684 117.537231 52.965183
    Oben rechts KachelX + 1 54166 KachelY 21359 2.05150756 0.92441684 117.542725 52.965183
    Unten links KachelX 54165 KachelY + 1 21360 2.05141168 0.92435910 117.537231 52.961875
    Unten rechts KachelX + 1 54166 KachelY + 1 21360 2.05150756 0.92435910 117.542725 52.961875
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92441684-0.92435910) × R
    5.77400000000283e-05 × 6371000     		dl = 367.86154000018m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92441684-0.92435910) × R
    5.77400000000283e-05 × 6371000     		dr = 367.86154000018m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.05141168-2.05150756) × cos(0.92441684) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.60230021370536 × 6371000     		do = 367.915976945994m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.05141168-2.05150756) × cos(0.92435910) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.602346304791586 × 6371000     		du = 367.94413175423m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92441684)-sin(0.92435910))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.60230021370536-0.602346304791586)×R²
    abs(2.05150756-2.05141168)×4.60910862263297e-05×R²
    9.58799999999371e-05×4.60910862263297e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×4.60910862263297e-05×40589641000000     		ar = 135347.316442995m²