Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54165 / 15260
↖ ↑ ↗
← N 79.736238°
W 31.231385°		 ← 54.42 m → N 79.736238°
W 31.228638°		 →
↑
54.41 m
↓
↑
54.41 m
↓
N 79.735749°
W 31.231385°		 ← 54.42 m →
2 961 m²		 N 79.735749°
W 31.228638°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54165 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15260 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.413249969482422 y=0.116428375244141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.413249969482422 × 217)
    floor (0.413249969482422 × 131072)
    floor (54165.5)     		tx = 54165
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.116428375244141 × 217)
    floor (0.116428375244141 × 131072)
    floor (15260.5)     		ty = 15260
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54165 / 15260 ti = "17/54165/15260"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54165/15260.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54165 ÷ 217
    54165 ÷ 131072     		x = 0.413246154785156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15260 ÷ 217
    15260 ÷ 131072     		y = 0.116424560546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.413246154785156 × 2 - 1) × π
    -0.173507690429688 × 3.1415926535     		Λ = -0.54509049
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.116424560546875 × 2 - 1) × π
    0.76715087890625 × 3.1415926535     		Φ = 2.41007556529794
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.54509049} λ = -0.54509049}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.41007556529794))-π/2
    2×atan(11.1348025179454)-π/2
    2×1.48122810931786-π/2
    2.96245621863572-1.57079632675     		φ = 1.39165989
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.54509049} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.231385°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39165989 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.736238°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54165 KachelY 15260 -0.54509049 1.39165989 -31.231385 79.736238
    Oben rechts KachelX + 1 54166 KachelY 15260 -0.54504255 1.39165989 -31.228638 79.736238
    Unten links KachelX 54165 KachelY + 1 15261 -0.54509049 1.39165135 -31.231385 79.735749
    Unten rechts KachelX + 1 54166 KachelY + 1 15261 -0.54504255 1.39165135 -31.228638 79.735749
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39165989-1.39165135) × R
    8.53999999983479e-06 × 6371000     		dl = 54.4083399989475m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39165989-1.39165135) × R
    8.53999999983479e-06 × 6371000     		dr = 54.4083399989475m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.54509049--0.54504255) × cos(1.39165989) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.178179895563879 × 6371000     		do = 54.4207264556847m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.54509049--0.54504255) × cos(1.39165135) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.178188298899697 × 6371000     		du = 54.4232930507455m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39165989)-sin(1.39165135))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.178179895563879-0.178188298899697)×R²
    abs(-0.54504255--0.54509049)×8.40333581828001e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.40333581828001e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.40333581828001e-06×40589641000000     		ar = 2961.01121014683m²