Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54165 / 14739
↖ ↑ ↗
← N 79.988100°
W 31.231385°		 ← 53.10 m → N 79.988100°
W 31.228638°		 →
↑
53.13 m
↓
↑
53.13 m
↓
N 79.987622°
W 31.231385°		 ← 53.10 m →
2 821 m²		 N 79.987622°
W 31.228638°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54165 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14739 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.413249969482422 y=0.112453460693359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.413249969482422 × 217)
    floor (0.413249969482422 × 131072)
    floor (54165.5)     		tx = 54165
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.112453460693359 × 217)
    floor (0.112453460693359 × 131072)
    floor (14739.5)     		ty = 14739
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54165 / 14739 ti = "17/54165/14739"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54165/14739.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54165 ÷ 217
    54165 ÷ 131072     		x = 0.413246154785156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14739 ÷ 217
    14739 ÷ 131072     		y = 0.112449645996094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.413246154785156 × 2 - 1) × π
    -0.173507690429688 × 3.1415926535     		Λ = -0.54509049
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.112449645996094 × 2 - 1) × π
    0.775100708007812 × 3.1415926535     		Φ = 2.43505068999999
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.54509049} λ = -0.54509049}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.43505068999999))-π/2
    2×atan(11.416397395884)-π/2
    2×1.48342601671766-π/2
    2.96685203343532-1.57079632675     		φ = 1.39605571
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.54509049} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.231385°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39605571 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.988100°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54165 KachelY 14739 -0.54509049 1.39605571 -31.231385 79.988100
    Oben rechts KachelX + 1 54166 KachelY 14739 -0.54504255 1.39605571 -31.228638 79.988100
    Unten links KachelX 54165 KachelY + 1 14740 -0.54509049 1.39604737 -31.231385 79.987622
    Unten rechts KachelX + 1 54166 KachelY + 1 14740 -0.54504255 1.39604737 -31.228638 79.987622
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39605571-1.39604737) × R
    8.33999999994006e-06 × 6371000     		dl = 53.1341399996181m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39605571-1.39604737) × R
    8.33999999994006e-06 × 6371000     		dr = 53.1341399996181m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.54509049--0.54504255) × cos(1.39605571) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.173852710213682 × 6371000     		do = 53.0990926679844m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.54509049--0.54504255) × cos(1.39604737) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.173860923203334 × 6371000     		du = 53.1016011264266m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39605571)-sin(1.39604737))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.173852710213682-0.173860923203334)×R²
    abs(-0.54504255--0.54509049)×8.21298965228423e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.21298965228423e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.21298965228423e-06×40589641000000     		ar = 2821.44126615593m²