Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 54164 / 14716
↖ ↑ ↗
← N 79.999076°
W 31.234131°		 ← 53.03 m → N 79.999076°
W 31.231385°		 →
↑
53.01 m
↓
↑
53.01 m
↓
N 79.998600°
W 31.234131°		 ← 53.03 m →
2 811 m²		 N 79.998600°
W 31.231385°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54164 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14716 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.413242340087891 y=0.112277984619141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.413242340087891 × 217)
    floor (0.413242340087891 × 131072)
    floor (54164.5)     		tx = 54164
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.112277984619141 × 217)
    floor (0.112277984619141 × 131072)
    floor (14716.5)     		ty = 14716
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54164 / 14716 ti = "17/54164/14716"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54164/14716.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54164 ÷ 217
    54164 ÷ 131072     		x = 0.413238525390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14716 ÷ 217
    14716 ÷ 131072     		y = 0.112274169921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.413238525390625 × 2 - 1) × π
    -0.17352294921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.54513842
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.112274169921875 × 2 - 1) × π
    0.77545166015625 × 3.1415926535     		Φ = 2.43615323869125
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.54513842} λ = -0.54513842}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.43615323869125))-π/2
    2×atan(11.4289914714067)-π/2
    2×1.48352180524693-π/2
    2.96704361049386-1.57079632675     		φ = 1.39624728
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.54513842} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.234131°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39624728 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.999076°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54164 KachelY 14716 -0.54513842 1.39624728 -31.234131 79.999076
    Oben rechts KachelX + 1 54165 KachelY 14716 -0.54509049 1.39624728 -31.231385 79.999076
    Unten links KachelX 54164 KachelY + 1 14717 -0.54513842 1.39623896 -31.234131 79.998600
    Unten rechts KachelX + 1 54165 KachelY + 1 14717 -0.54509049 1.39623896 -31.231385 79.998600
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39624728-1.39623896) × R
    8.32000000006161e-06 × 6371000     		dl = 53.0067200003925m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39624728-1.39623896) × R
    8.32000000006161e-06 × 6371000     		dr = 53.0067200003925m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.54513842--0.54509049) × cos(1.39624728) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.173664054316567 × 6371000     		do = 53.0304081641696m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.54513842--0.54509049) × cos(1.39623896) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.173672247887769 × 6371000     		du = 53.0329101697047m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39624728)-sin(1.39623896))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.173664054316567-0.173672247887769)×R²
    abs(-0.54509049--0.54513842)×8.1935712015202e-06×R²
    4.79300000000293e-05×8.1935712015202e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×8.1935712015202e-06×40589641000000     		ar = 2811.03430868042m²