Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54164 / 13468
↖ ↑ ↗
← N 80.577144°
W 31.234131°		 ← 49.99 m → N 80.577144°
W 31.231385°		 →
↑
49.95 m
↓
↑
49.95 m
↓
N 80.576695°
W 31.234131°		 ← 50 m →
2 497 m²		 N 80.576695°
W 31.231385°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54164 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13468 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.413242340087891 y=0.102756500244141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.413242340087891 × 217)
    floor (0.413242340087891 × 131072)
    floor (54164.5)     		tx = 54164
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.102756500244141 × 217)
    floor (0.102756500244141 × 131072)
    floor (13468.5)     		ty = 13468
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54164 / 13468 ti = "17/54164/13468"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54164/13468.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54164 ÷ 217
    54164 ÷ 131072     		x = 0.413238525390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13468 ÷ 217
    13468 ÷ 131072     		y = 0.102752685546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.413238525390625 × 2 - 1) × π
    -0.17352294921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.54513842
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.102752685546875 × 2 - 1) × π
    0.79449462890625 × 3.1415926535     		Φ = 2.49597848941708
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.54513842} λ = -0.54513842}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.49597848941708))-π/2
    2×atan(12.1336003113729)-π/2
    2×1.48856640019163-π/2
    2.97713280038326-1.57079632675     		φ = 1.40633647
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.54513842} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.234131°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40633647 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.577144°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54164 KachelY 13468 -0.54513842 1.40633647 -31.234131 80.577144
    Oben rechts KachelX + 1 54165 KachelY 13468 -0.54509049 1.40633647 -31.231385 80.577144
    Unten links KachelX 54164 KachelY + 1 13469 -0.54513842 1.40632863 -31.234131 80.576695
    Unten rechts KachelX + 1 54165 KachelY + 1 13469 -0.54509049 1.40632863 -31.231385 80.576695
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40633647-1.40632863) × R
    7.84000000009222e-06 × 6371000     		dl = 49.9486400005875m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40633647-1.40632863) × R
    7.84000000009222e-06 × 6371000     		dr = 49.9486400005875m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.54513842--0.54509049) × cos(1.40633647) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.163719499883667 × 6371000     		do = 49.9937188350918m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.54513842--0.54509049) × cos(1.40632863) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.163727234092976 × 6371000     		du = 49.996080568947m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40633647)-sin(1.40632863))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.163719499883667-0.163727234092976)×R²
    abs(-0.54509049--0.54513842)×7.7342093092736e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.7342093092736e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.7342093092736e-06×40589641000000     		ar = 2497.17724711538m²