Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 54163 / 50791
↖ ↑ ↗
← S 69.852870°
E117.526245°		 ← 210.40 m → S 69.852870°
E117.531738°		 →
↑
210.37 m
↓
↑
210.37 m
↓
S 69.854762°
E117.526245°		 ← 210.38 m →
44 259 m²		 S 69.854762°
E117.531738°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54163 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50791 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.826469421386719 y=0.775016784667969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.826469421386719 × 216)
    floor (0.826469421386719 × 65536)
    floor (54163.5)     		tx = 54163
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.775016784667969 × 216)
    floor (0.775016784667969 × 65536)
    floor (50791.5)     		ty = 50791
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 54163 / 50791 ti = "16/54163/50791"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/54163/50791.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54163 ÷ 216
    54163 ÷ 65536     		x = 0.826461791992188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50791 ÷ 216
    50791 ÷ 65536     		y = 0.775009155273438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.826461791992188 × 2 - 1) × π
    0.652923583984375 × 3.1415926535     		Λ = 2.05121993
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.775009155273438 × 2 - 1) × π
    -0.550018310546875 × 3.1415926535     		Φ = -1.72793348370454
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.05121993} λ = 2.05121993}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.72793348370454))-π/2
    2×atan(0.177651149898517)-π/2
    2×0.175816874351546-π/2
    0.351633748703092-1.57079632675     		φ = -1.21916258
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.05121993} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.526245°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21916258 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.852870°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54163 KachelY 50791 2.05121993 -1.21916258 117.526245 -69.852870
    Oben rechts KachelX + 1 54164 KachelY 50791 2.05131581 -1.21916258 117.531738 -69.852870
    Unten links KachelX 54163 KachelY + 1 50792 2.05121993 -1.21919560 117.526245 -69.854762
    Unten rechts KachelX + 1 54164 KachelY + 1 50792 2.05131581 -1.21919560 117.531738 -69.854762
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21916258--1.21919560) × R
    3.30199999998282e-05 × 6371000     		dl = 210.370419998905m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21916258--1.21919560) × R
    3.30199999998282e-05 × 6371000     		dr = 210.370419998905m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.05121993-2.05131581) × cos(-1.21916258) × R
    9.58800000003812e-05 × 0.344432046312493 × 6371000     		do = 210.396825250251m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.05121993-2.05131581) × cos(-1.21919560) × R
    9.58800000003812e-05 × 0.344401046577212 × 6371000     		du = 210.377889016075m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21916258)-sin(-1.21919560))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.344432046312493-0.344401046577212)×R²
    abs(2.05131581-2.05121993)×3.09997352811453e-05×R²
    9.58800000003812e-05×3.09997352811453e-05×6371000²
    9.58800000003812e-05×3.09997352811453e-05×40589641000000     		ar = 44259.2766865348m²