Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54163 / 14709
↖ ↑ ↗
← N 80.002415°
W 31.236877°		 ← 53.02 m → N 80.002415°
W 31.234131°		 →
↑
53.01 m
↓
↑
53.01 m
↓
N 80.001938°
W 31.236877°		 ← 53.03 m →
2 811 m²		 N 80.001938°
W 31.234131°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54163 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14709 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.413234710693359 y=0.112224578857422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.413234710693359 × 217)
    floor (0.413234710693359 × 131072)
    floor (54163.5)     		tx = 54163
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.112224578857422 × 217)
    floor (0.112224578857422 × 131072)
    floor (14709.5)     		ty = 14709
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54163 / 14709 ti = "17/54163/14709"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54163/14709.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54163 ÷ 217
    54163 ÷ 131072     		x = 0.413230895996094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14709 ÷ 217
    14709 ÷ 131072     		y = 0.112220764160156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.413230895996094 × 2 - 1) × π
    -0.173538208007812 × 3.1415926535     		Λ = -0.54518636
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.112220764160156 × 2 - 1) × π
    0.775558471679688 × 3.1415926535     		Φ = 2.43648879698859
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.54518636} λ = -0.54518636}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.43648879698859))-π/2
    2×atan(11.4328272078458)-π/2
    2×1.48355093763969-π/2
    2.96710187527937-1.57079632675     		φ = 1.39630555
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.54518636} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.236877°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39630555 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.002415°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54163 KachelY 14709 -0.54518636 1.39630555 -31.236877 80.002415
    Oben rechts KachelX + 1 54164 KachelY 14709 -0.54513842 1.39630555 -31.234131 80.002415
    Unten links KachelX 54163 KachelY + 1 14710 -0.54518636 1.39629723 -31.236877 80.001938
    Unten rechts KachelX + 1 54164 KachelY + 1 14710 -0.54513842 1.39629723 -31.234131 80.001938
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39630555-1.39629723) × R
    8.31999999983957e-06 × 6371000     		dl = 53.0067199989779m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39630555-1.39629723) × R
    8.31999999983957e-06 × 6371000     		dr = 53.0067199989779m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.54518636--0.54513842) × cos(1.39630555) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.173606669437136 × 6371000     		do = 53.023945481738m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.54518636--0.54513842) × cos(1.39629723) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.173614863092519 × 6371000     		du = 53.0264480349966m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39630555)-sin(1.39629723))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.173606669437136-0.173614863092519)×R²
    abs(-0.54513842--0.54518636)×8.19365538282102e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.19365538282102e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.19365538282102e-06×40589641000000     		ar = 2810.69175734944m²